MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmf Structured version   Unicode version

Theorem mhmf 14744
Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmf.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mhmf.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
Assertion
Ref Expression
mhmf  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  F : B
--> C )

Proof of Theorem mhmf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
2 mhmf.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  T
)
3 eqid 2437 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
4 eqid 2437 . . . 4  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
5 eqid 2437 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
6 eqid 2437 . . . 4  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
71, 2, 3, 4, 5, 6ismhm 14741 . . 3  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  <->  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  /\  ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T ) ( F `
 y ) )  /\  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g
`  T ) ) ) )
87simprbi 452 . 2  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T ) ( F `
 y ) )  /\  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g
`  T ) ) )
98simp1d 970 1  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  F : B
--> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   0gc0g 13724   Mndcmnd 14685   MndHom cmhm 14737
This theorem is referenced by:  resmhm  14760  resmhm2  14761  resmhm2b  14762  mhmco  14763  mhmima  14764  mhmeql  14765  pwsco2mhm  14771  gsumwmhm  14791  frmdup3  14812  mhmmulg  14923  ghmmhmb  15018  cntzmhm  15138  cntzmhm2  15139  frgpup3lem  15410  gsumzmhm  15534  gsummhm2  15536  dchrelbas2  21022  dchrn0  21035  mhmhmeotmd  24314  mhmvlin  27430
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-map 7021  df-mhm 14739
  Copyright terms: Public domain W3C validator