MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmf Unicode version

Theorem mhmf 14436
Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmf.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mhmf.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
Assertion
Ref Expression
mhmf  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  F : B
--> C )

Proof of Theorem mhmf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
2 mhmf.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  T
)
3 eqid 2296 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
4 eqid 2296 . . . 4  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
5 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
6 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
71, 2, 3, 4, 5, 6ismhm 14433 . . 3  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  <->  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  /\  ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T ) ( F `
 y ) )  /\  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g
`  T ) ) ) )
87simprbi 450 . 2  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T ) ( F `
 y ) )  /\  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g
`  T ) ) )
98simp1d 967 1  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  F : B
--> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377   MndHom cmhm 14429
This theorem is referenced by:  resmhm  14452  resmhm2  14453  resmhm2b  14454  mhmco  14455  mhmima  14456  mhmeql  14457  pwsco2mhm  14463  gsumwmhm  14483  frmdup3  14504  mhmmulg  14615  ghmmhmb  14710  cntzmhm  14830  cntzmhm2  14831  frgpup3lem  15102  gsumzmhm  15226  gsummhm2  15228  dchrelbas2  20492  dchrn0  20505  mhmhmeotmd  23315  mhmvlin  27555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-mhm 14431
  Copyright terms: Public domain W3C validator