Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmima Structured version   Unicode version

Theorem mhmima 14763
 Description: The homomorphic image of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmima MndHom SubMnd SubMnd

Proof of Theorem mhmima
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5216 . . 3
2 eqid 2436 . . . . . 6
3 eqid 2436 . . . . . 6
42, 3mhmf 14743 . . . . 5 MndHom
54adantr 452 . . . 4 MndHom SubMnd
6 frn 5597 . . . 4
75, 6syl 16 . . 3 MndHom SubMnd
81, 7syl5ss 3359 . 2 MndHom SubMnd
9 eqid 2436 . . . . 5
10 eqid 2436 . . . . 5
119, 10mhm0 14746 . . . 4 MndHom
1211adantr 452 . . 3 MndHom SubMnd
13 ffn 5591 . . . . 5
145, 13syl 16 . . . 4 MndHom SubMnd
152submss 14750 . . . . 5 SubMnd
1615adantl 453 . . . 4 MndHom SubMnd
179subm0cl 14752 . . . . 5 SubMnd
1817adantl 453 . . . 4 MndHom SubMnd
19 fnfvima 5976 . . . 4
2014, 16, 18, 19syl3anc 1184 . . 3 MndHom SubMnd
2112, 20eqeltrrd 2511 . 2 MndHom SubMnd
22 simpll 731 . . . . . . . . 9 MndHom SubMnd MndHom
2316adantr 452 . . . . . . . . . 10 MndHom SubMnd
24 simprl 733 . . . . . . . . . 10 MndHom SubMnd
2523, 24sseldd 3349 . . . . . . . . 9 MndHom SubMnd
26 simprr 734 . . . . . . . . . 10 MndHom SubMnd
2723, 26sseldd 3349 . . . . . . . . 9 MndHom SubMnd
28 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
29 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
302, 28, 29mhmlin 14745 . . . . . . . . 9 MndHom
3122, 25, 27, 30syl3anc 1184 . . . . . . . 8 MndHom SubMnd
3214adantr 452 . . . . . . . . 9 MndHom SubMnd
3328submcl 14753 . . . . . . . . . . 11 SubMnd
34333expb 1154 . . . . . . . . . 10 SubMnd
3534adantll 695 . . . . . . . . 9 MndHom SubMnd
36 fnfvima 5976 . . . . . . . . 9
3732, 23, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . . 8 MndHom SubMnd
3831, 37eqeltrrd 2511 . . . . . . 7 MndHom SubMnd
3938anassrs 630 . . . . . 6 MndHom SubMnd
4039ralrimiva 2789 . . . . 5 MndHom SubMnd
41 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
4241eleq1d 2502 . . . . . . . 8
4342ralima 5978 . . . . . . 7
4414, 16, 43syl2anc 643 . . . . . 6 MndHom SubMnd
4544adantr 452 . . . . 5 MndHom SubMnd
4640, 45mpbird 224 . . . 4 MndHom SubMnd
4746ralrimiva 2789 . . 3 MndHom SubMnd
48 oveq1 6088 . . . . . . 7
4948eleq1d 2502 . . . . . 6
5049ralbidv 2725 . . . . 5
5150ralima 5978 . . . 4
5214, 16, 51syl2anc 643 . . 3 MndHom SubMnd
5347, 52mpbird 224 . 2 MndHom SubMnd
54 mhmrcl2 14742 . . . 4 MndHom
5554adantr 452 . . 3 MndHom SubMnd
563, 10, 29issubm 14748 . . 3 SubMnd
5755, 56syl 16 . 2 MndHom SubMnd SubMnd
588, 21, 53, 57mpbir3and 1137 1 MndHom SubMnd SubMnd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   wss 3320   crn 4879  cima 4881   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  c0g 13723  cmnd 14684   MndHom cmhm 14736  SubMndcsubmnd 14737 This theorem is referenced by:  rhmima  15899 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739
 Copyright terms: Public domain W3C validator