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Theorem mhmpropd 14421
Description: Monoid homomorphism depends only on the monoidal attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmpropd.a  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  J ) )
mhmpropd.b  |-  ( ph  ->  C  =  ( Base `  K ) )
mhmpropd.c  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
mhmpropd.d  |-  ( ph  ->  C  =  ( Base `  M ) )
mhmpropd.e  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  J ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
mhmpropd.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mhmpropd  |-  ( ph  ->  ( J MndHom  K )  =  ( L MndHom  M
) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, J, y    x, L, y    ph, x, y    x, K, y    x, M, y

Proof of Theorem mhmpropd
Dummy variables  w  z  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmpropd.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  J ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
21fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  (
x ( +g  `  J
) y ) )  =  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) ) )
32adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f : B --> C )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
f `  ( x
( +g  `  J ) y ) )  =  ( f `  (
x ( +g  `  L
) y ) ) )
4 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : B --> C  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  x
)  e.  C )
5 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : B --> C  /\  y  e.  B )  ->  ( f `  y
)  e.  C )
64, 5anim12dan 810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : B --> C  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( f `  x
)  e.  C  /\  ( f `  y
)  e.  C ) )
7 mhmpropd.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
87ralrimivva 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
9 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  (
x ( +g  `  K
) y )  =  ( w ( +g  `  K ) y ) )
10 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  =  ( w ( +g  `  M ) y ) )
119, 10eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  (
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y )  <->  ( w
( +g  `  K ) y )  =  ( w ( +g  `  M
) y ) ) )
12 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
w ( +g  `  K
) y )  =  ( w ( +g  `  K ) z ) )
13 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
w ( +g  `  M
) y )  =  ( w ( +g  `  M ) z ) )
1412, 13eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( w ( +g  `  K ) y )  =  ( w ( +g  `  M ) y )  <->  ( w
( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M
) z ) ) )
1511, 14cbvral2v 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  C  A. y  e.  C  (
x ( +g  `  K
) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y )  <->  A. w  e.  C  A. z  e.  C  ( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M ) z ) )
168, 15sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  A. z  e.  C  ( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M ) z ) )
17 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) z ) )
18 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
w ( +g  `  M
) z )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) z ) )
1917, 18eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M ) z )  <->  ( (
f `  x )
( +g  `  K ) z )  =  ( ( f `  x
) ( +g  `  M
) z ) ) )
20 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  K
) z )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) ) )
21 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  M
) z )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) ) )
2220, 21eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
( ( f `  x ) ( +g  `  K ) z )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  M ) z )  <->  ( (
f `  x )
( +g  `  K ) ( f `  y
) )  =  ( ( f `  x
) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
2319, 22rspc2va 2891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f `  x )  e.  C  /\  ( f `  y
)  e.  C )  /\  A. w  e.  C  A. z  e.  C  ( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M
) z ) )  ->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  K ) ( f `  y
) )  =  ( ( f `  x
) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) )
246, 16, 23syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f : B --> C  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
) )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) ) )
2524anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f : B --> C )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) ) )
263, 25eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f : B --> C )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( f `  (
x ( +g  `  J
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  K ) ( f `  y
) )  <->  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
27262ralbidva 2583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f : B
--> C )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  (
x ( +g  `  J
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  K ) ( f `  y
) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
2827adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
29 mhmpropd.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  J ) )
30 raleq 2736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  ( Base `  J
)  ->  ( A. y  e.  B  (
f `  ( x
( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  J ) ( f `  ( x ( +g  `  J
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  K ) ( f `  y
) ) ) )
3130raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =  ( Base `  J
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x
( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J ) ( f `
 ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) ) ) )
3229, 31syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) ) ) )
3332adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) ) ) )
34 mhmpropd.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
35 raleq 2736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( A. y  e.  B  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  L ) ( f `  ( x ( +g  `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  M ) ( f `  y
) ) ) )
3635raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L ) ( f `
 ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) ) ) )
3734, 36syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
3928, 33, 383bitr3d 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
4029adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  B  =  (
Base `  J )
)
4134adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  B  =  (
Base `  L )
)
421adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  J ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
4340, 41, 42grpidpropd 14399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( 0g `  J )  =  ( 0g `  L ) )
4443fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( f `
 ( 0g `  L ) ) )
45 mhmpropd.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  =  ( Base `  K ) )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  C  =  (
Base `  K )
)
47 mhmpropd.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  =  ( Base `  M ) )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  C  =  (
Base `  M )
)
497adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
5046, 48, 49grpidpropd 14399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( 0g `  K )  =  ( 0g `  M ) )
5144, 50eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( ( f `
 ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K
)  <->  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g
`  M ) ) )
5239, 51anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) )
5352anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd ) )  /\  f : B --> C )  ->  ( ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) )
5453pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( ( f : B --> C  /\  ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J ) ( f `
 ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g
`  K ) ) )  <->  ( f : B --> C  /\  ( A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L ) ( f `
 ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g
`  M ) ) ) ) )
5529, 45feq23d 5386 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f : B --> C 
<->  f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K ) ) )
5655adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( f : B --> C 
<->  f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K ) ) )
5756anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( ( f : B --> C  /\  ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J ) ( f `
 ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g
`  K ) ) )  <->  ( f : ( Base `  J
) --> ( Base `  K
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) ) ) ) )
5834, 47feq23d 5386 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f : B --> C 
<->  f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M ) ) )
5958adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( f : B --> C 
<->  f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M ) ) )
6059anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( ( f : B --> C  /\  ( A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L ) ( f `
 ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g
`  M ) ) )  <->  ( f : ( Base `  L
) --> ( Base `  M
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) ) )
6154, 57, 603bitr3d 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( ( f : ( Base `  J
) --> ( Base `  K
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) ) )  <-> 
( f : (
Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) ) )
62 3anass 938 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K )  /\  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) )  <->  ( f : ( Base `  J
) --> ( Base `  K
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) ) ) )
63 3anass 938 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) )  <->  ( f : ( Base `  L
) --> ( Base `  M
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) )
6461, 62, 633bitr4g 279 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( ( f : ( Base `  J
) --> ( Base `  K
)  /\  A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) )  <->  ( f : ( Base `  L
) --> ( Base `  M
)  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) )
6564pm5.32da 622 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K )  /\  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) ) )  <-> 
( ( J  e. 
Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) ) )
6629, 34, 1mndpropd 14398 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) )
6745, 47, 7mndpropd 14398 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Mnd  <->  M  e.  Mnd ) )
6866, 67anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  e. 
Mnd  /\  K  e.  Mnd )  <->  ( L  e. 
Mnd  /\  M  e.  Mnd ) ) )
6968anbi1d 685 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) )  <-> 
( ( L  e. 
Mnd  /\  M  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) ) )
7065, 69bitrd 244 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K )  /\  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) ) )  <-> 
( ( L  e. 
Mnd  /\  M  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) ) )
71 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  J )  =  (
Base `  J )
72 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
73 eqid 2283 . . . 4  |-  ( +g  `  J )  =  ( +g  `  J )
74 eqid 2283 . . . 4  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
75 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  J )  =  ( 0g `  J
)
76 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
7771, 72, 73, 74, 75, 76ismhm 14417 . . 3  |-  ( f  e.  ( J MndHom  K
)  <->  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K )  /\  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) ) ) )
78 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
79 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
80 eqid 2283 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
81 eqid 2283 . . . 4  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
82 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
83 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
8478, 79, 80, 81, 82, 83ismhm 14417 . . 3  |-  ( f  e.  ( L MndHom  M
)  <->  ( ( L  e.  Mnd  /\  M  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) )
8570, 77, 843bitr4g 279 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( J MndHom  K )  <->  f  e.  ( L MndHom  M ) ) )
8685eqrdv 2281 1  |-  ( ph  ->  ( J MndHom  K )  =  ( L MndHom  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361   MndHom cmhm 14413
This theorem is referenced by:  ghmpropd  14720  pwsco1rhm  15510  pwsco2rhm  15511  pwsdiagrhm  15578  rhmpropd  15580
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415
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