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Theorem mhmvlin 27420
Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmvlin.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mhmvlin.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
mhmvlin.q  |-  .+^  =  ( +g  `  N )
Assertion
Ref Expression
mhmvlin  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  o F 
.+  Y ) )  =  ( ( F  o.  X )  o F  .+^  ( F  o.  Y ) ) )

Proof of Theorem mhmvlin
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  F  e.  ( M MndHom  N ) )
2 elmapi 7030 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
323ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  X :
I --> B )
43ffvelrnda 5862 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( X `  y )  e.  B )
5 elmapi 7030 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  Y : I --> B )
653ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  Y :
I --> B )
76ffvelrnda 5862 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( Y `  y )  e.  B )
8 mhmvlin.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
9 mhmvlin.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  M )
10 mhmvlin.q . . . . 5  |-  .+^  =  ( +g  `  N )
118, 9, 10mhmlin 14737 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  ( X `  y )  e.  B  /\  ( Y `  y )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y
) ) )  =  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) )
121, 4, 7, 11syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y
) ) )  =  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) )
1312mpteq2dva 4287 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( F `
 ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) ) )
14 mhmrcl1 14733 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( M MndHom  N
)  ->  M  e.  Mnd )
1514adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  y  e.  I )  ->  M  e.  Mnd )
16153ad2antl1 1119 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  M  e.  Mnd )
178, 9mndcl 14687 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X `  y )  e.  B  /\  ( Y `  y )  e.  B )  ->  (
( X `  y
)  .+  ( Y `  y ) )  e.  B )
1816, 4, 7, 17syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( X `  y
)  .+  ( Y `  y ) )  e.  B )
19 elmapex 7029 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
2019simprd 450 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
21203ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  I  e.  _V )
223feqmptd 5771 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  X  =  ( y  e.  I  |->  ( X `  y
) ) )
236feqmptd 5771 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  Y  =  ( y  e.  I  |->  ( Y `  y
) ) )
2421, 4, 7, 22, 23offval2 6314 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( X  o F  .+  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) ) ) )
25 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  N )  =  (
Base `  N )
268, 25mhmf 14735 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( M MndHom  N
)  ->  F : B
--> ( Base `  N
) )
27263ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  F : B
--> ( Base `  N
) )
2827feqmptd 5771 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  F  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z
) ) )
29 fveq2 5720 . . 3  |-  ( z  =  ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( X `  y ) 
.+  ( Y `  y ) ) ) )
3018, 24, 28, 29fmptco 5893 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  o F 
.+  Y ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y )
) ) ) )
31 fvex 5734 . . . 4  |-  ( F `
 ( X `  y ) )  e. 
_V
3231a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( X `  y ) )  e. 
_V )
33 fvex 5734 . . . 4  |-  ( F `
 ( Y `  y ) )  e. 
_V
3433a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( Y `  y ) )  e. 
_V )
35 fcompt 5896 . . . 4  |-  ( ( F : B --> ( Base `  N )  /\  X : I --> B )  ->  ( F  o.  X )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( X `
 y ) ) ) )
3627, 3, 35syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  X )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( X `
 y ) ) ) )
37 fcompt 5896 . . . 4  |-  ( ( F : B --> ( Base `  N )  /\  Y : I --> B )  ->  ( F  o.  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) )
3827, 6, 37syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) )
3921, 32, 34, 36, 38offval2 6314 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( ( F  o.  X )  o F  .+^  ( F  o.  Y ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( F `
 ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) ) )
4013, 30, 393eqtr4d 2477 1  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  o F 
.+  Y ) )  =  ( ( F  o.  X )  o F  .+^  ( F  o.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    e. cmpt 4258    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    ^m cmap 7010   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   Mndcmnd 14676   MndHom cmhm 14728
This theorem is referenced by:  mendrng  27468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-mnd 14682  df-mhm 14730
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