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Theorem mhmvlin 26864
Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmvlin.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mhmvlin.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
mhmvlin.q  |-  .+^  =  ( +g  `  N )
Assertion
Ref Expression
mhmvlin  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  o F 
.+  Y ) )  =  ( ( F  o.  X )  o F  .+^  ( F  o.  Y ) ) )

Proof of Theorem mhmvlin
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  F  e.  ( M MndHom  N ) )
2 elmapi 6792 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
323ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  X :
I --> B )
4 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( X : I --> B  /\  y  e.  I )  ->  ( X `  y
)  e.  B )
53, 4sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( X `  y )  e.  B )
6 elmapi 6792 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  Y : I --> B )
763ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  Y :
I --> B )
8 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( Y : I --> B  /\  y  e.  I )  ->  ( Y `  y
)  e.  B )
97, 8sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( Y `  y )  e.  B )
10 mhmvlin.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
11 mhmvlin.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  M )
12 mhmvlin.q . . . . 5  |-  .+^  =  ( +g  `  N )
1310, 11, 12mhmlin 14422 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  ( X `  y )  e.  B  /\  ( Y `  y )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y
) ) )  =  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) )
141, 5, 9, 13syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y
) ) )  =  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) )
1514mpteq2dva 4106 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( F `
 ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) ) )
16 mhmrcl1 14418 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( M MndHom  N
)  ->  M  e.  Mnd )
1716adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  y  e.  I )  ->  M  e.  Mnd )
18173ad2antl1 1117 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  M  e.  Mnd )
1910, 11mndcl 14372 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X `  y )  e.  B  /\  ( Y `  y )  e.  B )  ->  (
( X `  y
)  .+  ( Y `  y ) )  e.  B )
2018, 5, 9, 19syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( X `  y
)  .+  ( Y `  y ) )  e.  B )
21 elmapex 6791 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
2221simprd 449 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
23223ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  I  e.  _V )
243feqmptd 5575 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  X  =  ( y  e.  I  |->  ( X `  y
) ) )
257feqmptd 5575 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  Y  =  ( y  e.  I  |->  ( Y `  y
) ) )
2623, 5, 9, 24, 25offval2 6095 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( X  o F  .+  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) ) ) )
27 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  N )  =  (
Base `  N )
2810, 27mhmf 14420 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( M MndHom  N
)  ->  F : B
--> ( Base `  N
) )
29283ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  F : B
--> ( Base `  N
) )
3029feqmptd 5575 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  F  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z
) ) )
31 fveq2 5525 . . 3  |-  ( z  =  ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( X `  y ) 
.+  ( Y `  y ) ) ) )
3220, 26, 30, 31fmptco 5691 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  o F 
.+  Y ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y )
) ) ) )
33 fvex 5539 . . . 4  |-  ( F `
 ( X `  y ) )  e. 
_V
3433a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( X `  y ) )  e. 
_V )
35 fvex 5539 . . . 4  |-  ( F `
 ( Y `  y ) )  e. 
_V
3635a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( Y `  y ) )  e. 
_V )
37 fcompt 5694 . . . 4  |-  ( ( F : B --> ( Base `  N )  /\  X : I --> B )  ->  ( F  o.  X )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( X `
 y ) ) ) )
3829, 3, 37syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  X )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( X `
 y ) ) ) )
39 fcompt 5694 . . . 4  |-  ( ( F : B --> ( Base `  N )  /\  Y : I --> B )  ->  ( F  o.  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) )
4029, 7, 39syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) )
4123, 34, 36, 38, 40offval2 6095 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( ( F  o.  X )  o F  .+^  ( F  o.  Y ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( F `
 ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) ) )
4215, 32, 413eqtr4d 2325 1  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  o F 
.+  Y ) )  =  ( ( F  o.  X )  o F  .+^  ( F  o.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Mndcmnd 14361   MndHom cmhm 14413
This theorem is referenced by:  mendrng  26912
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-mnd 14367  df-mhm 14415
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