Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhmvlin Unicode version

Theorem mhmvlin 27555
Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmvlin.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mhmvlin.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
mhmvlin.q  |-  .+^  =  ( +g  `  N )
Assertion
Ref Expression
mhmvlin  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  o F 
.+  Y ) )  =  ( ( F  o.  X )  o F  .+^  ( F  o.  Y ) ) )

Proof of Theorem mhmvlin
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  F  e.  ( M MndHom  N ) )
2 elmapi 6808 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
323ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  X :
I --> B )
4 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( X : I --> B  /\  y  e.  I )  ->  ( X `  y
)  e.  B )
53, 4sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( X `  y )  e.  B )
6 elmapi 6808 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  Y : I --> B )
763ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  Y :
I --> B )
8 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( Y : I --> B  /\  y  e.  I )  ->  ( Y `  y
)  e.  B )
97, 8sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( Y `  y )  e.  B )
10 mhmvlin.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
11 mhmvlin.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  M )
12 mhmvlin.q . . . . 5  |-  .+^  =  ( +g  `  N )
1310, 11, 12mhmlin 14438 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  ( X `  y )  e.  B  /\  ( Y `  y )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y
) ) )  =  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) )
141, 5, 9, 13syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y
) ) )  =  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) )
1514mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( F `
 ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) ) )
16 mhmrcl1 14434 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( M MndHom  N
)  ->  M  e.  Mnd )
1716adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  y  e.  I )  ->  M  e.  Mnd )
18173ad2antl1 1117 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  M  e.  Mnd )
1910, 11mndcl 14388 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X `  y )  e.  B  /\  ( Y `  y )  e.  B )  ->  (
( X `  y
)  .+  ( Y `  y ) )  e.  B )
2018, 5, 9, 19syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( X `  y
)  .+  ( Y `  y ) )  e.  B )
21 elmapex 6807 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
2221simprd 449 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
23223ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  I  e.  _V )
243feqmptd 5591 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  X  =  ( y  e.  I  |->  ( X `  y
) ) )
257feqmptd 5591 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  Y  =  ( y  e.  I  |->  ( Y `  y
) ) )
2623, 5, 9, 24, 25offval2 6111 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( X  o F  .+  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) ) ) )
27 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  N )  =  (
Base `  N )
2810, 27mhmf 14436 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( M MndHom  N
)  ->  F : B
--> ( Base `  N
) )
29283ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  F : B
--> ( Base `  N
) )
3029feqmptd 5591 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  F  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z
) ) )
31 fveq2 5541 . . 3  |-  ( z  =  ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( X `  y ) 
.+  ( Y `  y ) ) ) )
3220, 26, 30, 31fmptco 5707 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  o F 
.+  Y ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y )
) ) ) )
33 fvex 5555 . . . 4  |-  ( F `
 ( X `  y ) )  e. 
_V
3433a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( X `  y ) )  e. 
_V )
35 fvex 5555 . . . 4  |-  ( F `
 ( Y `  y ) )  e. 
_V
3635a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( Y `  y ) )  e. 
_V )
37 fcompt 5710 . . . 4  |-  ( ( F : B --> ( Base `  N )  /\  X : I --> B )  ->  ( F  o.  X )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( X `
 y ) ) ) )
3829, 3, 37syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  X )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( X `
 y ) ) ) )
39 fcompt 5710 . . . 4  |-  ( ( F : B --> ( Base `  N )  /\  Y : I --> B )  ->  ( F  o.  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) )
4029, 7, 39syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) )
4123, 34, 36, 38, 40offval2 6111 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( ( F  o.  X )  o F  .+^  ( F  o.  Y ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( F `
 ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) ) )
4215, 32, 413eqtr4d 2338 1  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  o F 
.+  Y ) )  =  ( ( F  o.  X )  o F  .+^  ( F  o.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Mndcmnd 14377   MndHom cmhm 14429
This theorem is referenced by:  mendrng  27603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-mnd 14383  df-mhm 14431
  Copyright terms: Public domain W3C validator