MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  min1 Structured version   Unicode version

Theorem min1 10768
Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the first. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
min1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  A
)

Proof of Theorem min1
StepHypRef Expression
1 rexr 9122 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9122 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmin1 10757 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  A )
41, 2, 3syl2an 464 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   ifcif 3731   class class class wbr 4204   RRcr 8981   RR*cxr 9111    <_ cle 9113
This theorem is referenced by:  reccn2  12382  ssblex  18450  nlmvscnlem1  18714  nrginvrcnlem  18718  icccmplem2  18846  xlebnum  18982  ipcnlem1  19191  ivthlem2  19341  ioombl1lem4  19447  mbfi1fseqlem5  19603  aalioulem5  20245  aalioulem6  20246  logcnlem3  20527  cxpcn3lem  20623  ftalem5  20851  chtdif  20933  ppidif  20938  chebbnd1lem1  21155  itg2addnc  26249  stoweidlem5  27721
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118
  Copyright terms: Public domain W3C validator