MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  min1 Unicode version

Theorem min1 10708
Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the first. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
min1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  A
)

Proof of Theorem min1
StepHypRef Expression
1 rexr 9063 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9063 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmin1 10697 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  A )
41, 2, 3syl2an 464 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   ifcif 3682   class class class wbr 4153   RRcr 8922   RR*cxr 9052    <_ cle 9054
This theorem is referenced by:  reccn2  12317  ssblex  18348  nlmvscnlem1  18593  nrginvrcnlem  18597  icccmplem2  18725  xlebnum  18861  ipcnlem1  19070  ivthlem2  19216  ioombl1lem4  19322  mbfi1fseqlem5  19478  aalioulem5  20120  aalioulem6  20121  logcnlem3  20402  cxpcn3lem  20498  ftalem5  20726  chtdif  20808  ppidif  20813  chebbnd1lem1  21030  stoweidlem5  27422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059
  Copyright terms: Public domain W3C validator