MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  min2 Unicode version

Theorem min2 10518
Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the second. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
min2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B
)

Proof of Theorem min2
StepHypRef Expression
1 rexr 8877 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 8877 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmin2 10507 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B )
41, 2, 3syl2an 463 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   ifcif 3565   class class class wbr 4023   RRcr 8736   RR*cxr 8866    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  reccn2  12070  ssblex  17974  nlmvscnlem1  18197  nrginvrcnlem  18201  icccmplem2  18328  xlebnum  18463  ipcnlem1  18672  ivthlem2  18812  ovolicc2lem5  18880  ioombl1lem1  18915  mbfi1fseqlem4  19073  mbfi1fseqlem5  19074  aalioulem5  19716  aalioulem6  19717  cxpcn3lem  20087  ftalem5  20314  chtdif  20396  ppidif  20401  chebbnd1lem1  20618  stoweidlem5  27754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator