Theorem minveceu 8514

Description: Minimizing vector theorem. There is exactly one vector in a complete subspace W that minimizes the distance to an arbitrary vector A in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. Note that we work with the negative of the supremum of negatives instead of infimum in order to use theorems we already have available.

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = (Base` U)
minvec.m	|- M = (-v` U)
minvec.n	|- N = (norm` U)
minvec.y	|- Y = (Base` W)
minvec.1	|- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}
minvec.2	|- P = -usup(R, RR, < )
minvec.u	|- U e. CPreHil
minvec.w	|- W e. ((SubSp` U) i^i CBan)
minvec.a	|- A e. X

Assertion

Ref	Expression
minveceu	|- E!a e. Y (N` (AMa)) = P

Distinct variable groups:   x,a,y,A   M,a,x,y   N,a,x,y   P,a   R,a   x,U,y   W,a,x,y   Y,a,x,y

Proof of Theorem minveceu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3954	. . . . 5 |- (a = b -> (AMa) = (AMb))
2	1	fveq2d 3713	. . . 4 |- (a = b -> (N` (AMa)) = (N` (AMb)))
3	2	eqeq1d 1475	. . 3 |- (a = b -> ((N` (AMa)) = P <-> (N` (AMb)) = P))
4	3	reu4 1924	. 2 |- (E!a e. Y (N` (AMa)) = P <-> (E.a e. Y (N` (AMa)) = P /\ A.a e. Y A.b e. Y (((N` (AMa)) = P /\ (N` (AMb)) = P) -> a = b)))
5		minvec.1	. . 3 |- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}
6		minvec.u	. . 3 |- U e. CPreHil
7		minvec.m	. . 3 |- M = (-v` U)
8		minvec.n	. . 3 |- N = (norm` U)
9		minvec.x	. . 3 |- X = (Base` U)
10		minvec.w	. . . 4 |- W e. ((SubSp` U) i^i CBan)
11		inss1 2220	. . . . 5 |- ((SubSp` U) i^i CBan) (_ (SubSp` U)
12	11	sseli 2055	. . . 4 |- (W e. ((SubSp` U) i^i CBan) -> W e. (SubSp` U))
13	10, 12	ax-mp 7	. . 3 |- W e. (SubSp` U)
14		minvec.y	. . 3 |- Y = (Base` W)
15		minvec.a	. . 3 |- A e. X
16		minvec.2	. . 3 |- P = -usup(R, RR, < )
17		fveq2 3709	. . . . . 6 |- (j = n -> (f` j) = (f` n))
18	17	opreq2d 3961	. . . . 5 |- (j = n -> (AM(f` j)) = (AM(f` n)))
19	18	fveq2d 3713	. . . 4 |- (j = n -> (N` (AM(f` j))) = (N` (AM(f` n))))
20		eqid 1468	. . . 4 |- {<.j, v>. | (j e. NN /\ v = (N` (AM(f` j))))} = {<.j, v>. | (j e. NN /\ v = (N` (AM(f` j))))}
21		fvex 3717	. . . 4 |- (N` (AM(f` n))) e. V
22	19, 20, 21	fvopab4 3765	. . 3 |- (n e. NN -> ({<.j, v>. | (j e. NN /\ v = (N` (AM(f` j))))}` n) = (N` (AM(f` n))))
23		eqid 1468	. . 3 |- (IndMet` W) = (IndMet` W)
24		nnex 5881	. . . 4 |- NN e. V
25	24	opabex2 3596	. . 3 |- {<.j, v>. | (j e. NN /\ v = (N` (AM(f` j))))} e. V
26		inss2 2221	. . . . 5 |- ((SubSp` U) i^i CBan) (_ CBan
27	26	sseli 2055	. . . 4 |- (W e. ((SubSp` U) i^i CBan) -> W e. CBan)
28	10, 27	ax-mp 7	. . 3 |- W e. CBan
29	5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 22, 23, 25, 28	minvecex 8509	. 2 |- E.a e. Y (N` (AMa)) = P
30		eqid 1468	. . . . . 6 |- (+v` U) = (+v` U)
31		eqid 1468	. . . . . 6 |- (.s` U) = (.s` U)
32	9, 30, 7, 31, 8, 14, 6, 15, 13, 16, 5	minveclem38 8513	. . . . 5 |- (((a e. Y /\ b e. Y) /\ ((N` (AMa)) = P /\ (N` (AMb)) = P)) -> (N` (aMb)) <_ 0)
33	6	phnvi 8406	. . . . . . . . . . 11 |- U e. NrmCVec
34	9, 7	nvmcl 8207	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ a e. X /\ b e. X) -> (aMb) e. X)
35	33, 34	mp3an1 900	. . . . . . . . . 10 |- ((a e. X /\ b e. X) -> (aMb) e. X)
36	9, 8	nvge0 8241	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ (aMb) e. X) -> 0 <_ (N` (aMb)))
37	33, 36	mpan 693	. . . . . . . . . 10 |- ((aMb) e. X -> 0 <_ (N` (aMb)))
38	35, 37	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((a e. X /\ b e. X) -> 0 <_ (N` (aMb)))
39		idd 61	. . . . . . . . 9 |- ((a e. X /\ b e. X) -> (((N` (aMb)) <_ 0 /\ 0 <_ (N` (aMb))) -> ((N` (aMb)) <_ 0 /\ 0 <_ (N` (aMb)))))
40	38, 39	mpan2d 700	. . . . . . . 8 |- ((a e. X /\ b e. X) -> ((N` (aMb)) <_ 0 -> ((N` (aMb)) <_ 0 /\ 0 <_ (N` (aMb)))))
41		eqid 1468	. . . . . . . . . . . 12 |- (0v` U) = (0v` U)
42	9, 41, 8	nvz 8236	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ (aMb) e. X) -> ((N` (aMb)) = 0 <-> (aMb) = (0v` U)))
43	33, 42	mpan 693	. . . . . . . . . 10 |- ((aMb) e. X -> ((N` (aMb)) = 0 <-> (aMb) = (0v` U)))
44	35, 43	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((a e. X /\ b e. X) -> ((N` (aMb)) = 0 <-> (aMb) = (0v` U)))
45	9, 8	nvcl 8227	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ (aMb) e. X) -> (N` (aMb)) e. RR)
46	33, 45	mpan 693	. . . . . . . . . . 11 |- ((aMb) e. X -> (N` (aMb)) e. RR)
47	35, 46	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- ((a e. X /\ b e. X) -> (N` (aMb)) e. RR)
48		0re 5412	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
49		letri3t 5490	. . . . . . . . . . 11 |- (((N` (aMb)) e. RR /\ 0 e. RR) -> ((N` (aMb)) = 0 <-> ((N` (aMb)) <_ 0 /\ 0 <_ (N` (aMb)))))
50	48, 49	mpan2 694	. . . . . . . . . 10 |- ((N` (aMb)) e. RR -> ((N` (aMb)) = 0 <-> ((N` (aMb)) <_ 0 /\ 0 <_ (N` (aMb)))))
51	47, 50	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((a e. X /\ b e. X) -> ((N` (aMb)) = 0 <-> ((N` (aMb)) <_ 0 /\ 0 <_ (N` (aMb)))))
52	9, 7, 41	nvmeq0 8224	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ a e. X /\ b e. X) -> ((aMb) = (0v` U) <-> a = b))
53	33, 52	mp3an1 900	. . . . . . . . 9 |- ((a e. X /\ b e. X) -> ((aMb) = (0v` U) <-> a = b))
54	44, 51, 53	3bitr3d 546	. . . . . . . 8 |- ((a e. X /\ b e. X) -> (((N` (aMb)) <_ 0 /\ 0 <_ (N` (aMb))) <-> a = b))
55	40, 54	sylibd 202	. . . . . . 7 |- ((a e. X /\ b e. X) -> ((N` (aMb)) <_ 0 -> a = b))
56	6, 13, 14, 9	minveclem3 8478	. . . . . . . 8 |- Y (_ X
57	56	sseli 2055	. . . . . . 7 |- (a e. Y -> a e. X)
58	56	sseli 2055	. . . . . . 7 |- (b e. Y -> b e. X)
59	55, 57, 58	syl2an 454	. . . . . 6 |- ((a e. Y /\ b e. Y) -> ((N` (aMb)) <_ 0 -> a = b))
60	59	adantr 389	. . . . 5 |- (((a e. Y /\ b e. Y) /\ ((N` (AMa)) = P /\ (N` (AMb)) = P)) -> ((N` (aMb)) <_ 0 -> a = b))
61	32, 60	mpd 26	. . . 4 |- (((a e. Y /\ b e. Y) /\ ((N` (AMa)) = P /\ (N` (AMb)) = P)) -> a = b)
62	61	ex 373	. . 3 |- ((a e. Y /\ b e. Y) -> (((N` (AMa)) = P /\ (N` (AMb)) = P) -> a = b))
63	62	rgen2a 1691	. 2 |- A.a e. Y A.b e. Y (((N` (AMa)) = P /\ (N` (AMb)) = P) -> a = b)
64	4, 29, 63	mpbir2an 728	1 |- E!a e. Y (N` (AMa)) = P

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {cab 1456  A.wral 1637  E.wrex 1638  E!wreu 1639   i^i cin 2036   class class class wbr 2609  {copab 2656  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  RRcr 5205  0cc0 5206  -ucneg 5265   <_ cle 5267  NNcn 5268   < clt 5458  NrmCVeccnv 8141  +vcpv 8142  Basecba 8143  .scns 8144  0vcn0v 8145  -vcnsb 8146  normcnm 8147  IndMetcims 8148  SubSpcss 8314  CPreHilcphl 8402  CBancbn 8453

This theorem is referenced by:  minveccl 8515  minvecdist 8516

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179<