Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem2 Structured version   Unicode version

Theorem minveclem2 19327
 Description: Lemma for minvec 19337. Any two points and in are close to each other if they are close to the infimum of distance to . (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x
minvec.m
minvec.n
minvec.u
minvec.y
minvec.w s CMetSp
minvec.a
minvec.j
minvec.r
minvec.s
minvec.d
minveclem2.1
minveclem2.2
minveclem2.3
minveclem2.4
minveclem2.5
minveclem2.6
Assertion
Ref Expression
minveclem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem minveclem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10073 . . . . . 6
2 minvec.x . . . . . . . 8
3 minvec.m . . . . . . . 8
4 minvec.n . . . . . . . 8
5 minvec.u . . . . . . . 8
6 minvec.y . . . . . . . 8
7 minvec.w . . . . . . . 8 s CMetSp
8 minvec.a . . . . . . . 8
9 minvec.j . . . . . . . 8
10 minvec.r . . . . . . . 8
11 minvec.s . . . . . . . 8
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 19326 . . . . . . 7
1312resqcld 11549 . . . . . 6
14 remulcl 9075 . . . . . 6
151, 13, 14sylancr 645 . . . . 5
16 cphngp 19136 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
175, 16syl 16 . . . . . . . . 9 NrmGrp
18 ngpms 18647 . . . . . . . . 9 NrmGrp
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8
20 minvec.d . . . . . . . . 9
212, 20msmet 18487 . . . . . . . 8
2219, 21syl 16 . . . . . . 7
23 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
242, 23lssss 16013 . . . . . . . . 9
256, 24syl 16 . . . . . . . 8
26 minveclem2.3 . . . . . . . 8
2725, 26sseldd 3349 . . . . . . 7
28 minveclem2.4 . . . . . . . 8
2925, 28sseldd 3349 . . . . . . 7
30 metcl 18362 . . . . . . 7
3122, 27, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . 6
3231resqcld 11549 . . . . 5
3315, 32readdcld 9115 . . . 4
34 cphlmod 19137 . . . . . . . . . 10
355, 34syl 16 . . . . . . . . 9
36 cphclm 19152 . . . . . . . . . . . . . . 15 CMod
375, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 CMod
38 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
39 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
4038, 39clmzss 19103 . . . . . . . . . . . . . 14 CMod Scalar
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
42 2z 10312 . . . . . . . . . . . . . 14
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
4441, 43sseldd 3349 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
45 2ne0 10083 . . . . . . . . . . . . 13
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
4738, 39cphreccl 19144 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
485, 44, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 Scalar
49 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
5049, 23lssvacl 16030 . . . . . . . . . . . 12
5135, 6, 26, 28, 50syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11
52 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
5338, 52, 39, 23lssvscl 16031 . . . . . . . . . . 11 Scalar
5435, 6, 48, 51, 53syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10
5525, 54sseldd 3349 . . . . . . . . 9
562, 3lmodvsubcl 15989 . . . . . . . . 9
5735, 8, 55, 56syl3anc 1184 . . . . . . . 8
582, 4nmcl 18662 . . . . . . . 8 NrmGrp
5917, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . 7
6059resqcld 11549 . . . . . 6
61 remulcl 9075 . . . . . 6
621, 60, 61sylancr 645 . . . . 5
6362, 32readdcld 9115 . . . 4
64 minveclem2.1 . . . . . 6
6513, 64readdcld 9115 . . . . 5
66 remulcl 9075 . . . . 5
671, 65, 66sylancr 645 . . . 4
682, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 19325 . . . . . . . . . 10
6968simp3d 971 . . . . . . . . 9
7068simp1d 969 . . . . . . . . . 10
7168simp2d 970 . . . . . . . . . 10
72 0re 9091 . . . . . . . . . . 11
73 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . 13
7473ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . 12
7574rspcev 3052 . . . . . . . . . . 11
7672, 69, 75sylancr 645 . . . . . . . . . 10
7772a1i 11 . . . . . . . . . 10
78 infmrgelb 9988 . . . . . . . . . 10
7970, 71, 76, 77, 78syl31anc 1187 . . . . . . . . 9
8069, 79mpbird 224 . . . . . . . 8
8180, 11syl6breqr 4252 . . . . . . 7
82 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
83 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14
8584eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . 13
8685rspcev 3052 . . . . . . . . . . . 12
8754, 82, 86sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
88 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
89 fvex 5742 . . . . . . . . . . . 12
9088, 89elrnmpti 5121 . . . . . . . . . . 11
9187, 90sylibr 204 . . . . . . . . . 10
9291, 10syl6eleqr 2527 . . . . . . . . 9
93 infmrlb 9989 . . . . . . . . 9
9470, 76, 92, 93syl3anc 1184 . . . . . . . 8
9511, 94syl5eqbr 4245 . . . . . . 7
96 le2sq2 11457 . . . . . . 7
9712, 81, 59, 95, 96syl22anc 1185 . . . . . 6
98 4pos 10086 . . . . . . . . 9
991, 98pm3.2i 442 . . . . . . . 8
100 lemul2 9863 . . . . . . . 8
10199, 100mp3an3 1268 . . . . . . 7
10213, 60, 101syl2anc 643 . . . . . 6
10397, 102mpbid 202 . . . . 5
10415, 62, 32, 103leadd1dd 9640 . . . 4
105 metcl 18362 . . . . . . . . . 10
10622, 8, 27, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
107106resqcld 11549 . . . . . . . 8
108 metcl 18362 . . . . . . . . . 10
10922, 8, 29, 108syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
110109resqcld 11549 . . . . . . . 8
111 minveclem2.5 . . . . . . . 8
112 minveclem2.6 . . . . . . . 8
113107, 110, 65, 65, 111, 112le2addd 9644 . . . . . . 7
11465recnd 9114 . . . . . . . 8
1151142timesd 10210 . . . . . . 7
116113, 115breqtrrd 4238 . . . . . 6
117107, 110readdcld 9115 . . . . . . 7
118 2re 10069 . . . . . . . 8
119 remulcl 9075 . . . . . . . 8
120118, 65, 119sylancr 645 . . . . . . 7
121 2pos 10082 . . . . . . . . 9
122118, 121pm3.2i 442 . . . . . . . 8
123 lemul2 9863 . . . . . . . 8
124122, 123mp3an3 1268 . . . . . . 7
125117, 120, 124syl2anc 643 . . . . . 6
126116, 125mpbid 202 . . . . 5
1272, 3lmodvsubcl 15989 . . . . . . . 8
12835, 8, 27, 127syl3anc 1184 . . . . . . 7
1292, 3lmodvsubcl 15989 . . . . . . . 8
13035, 8, 29, 129syl3anc 1184 . . . . . . 7
1312, 49, 3, 4nmpar 19197 . . . . . . 7
1325, 128, 130, 131syl3anc 1184 . . . . . 6
133 2cn 10070 . . . . . . . . . 10
13459recnd 9114 . . . . . . . . . 10
135 sqmul 11445 . . . . . . . . . 10
136133, 134, 135sylancr 645 . . . . . . . . 9
137 sq2 11477 . . . . . . . . . 10
138137oveq1i 6091 . . . . . . . . 9
139136, 138syl6eq 2484 . . . . . . . 8
1402, 4, 52, 38, 39cphnmvs 19153 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
1415, 44, 57, 140syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
14272, 118, 121ltleii 9196 . . . . . . . . . . . . 13
143 absid 12101 . . . . . . . . . . . . 13
144118, 142, 143mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12
145144oveq1i 6091 . . . . . . . . . . 11
146141, 145syl6eq 2484 . . . . . . . . . 10
1472, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55lmodsubdi 16001 . . . . . . . . . . . 12
148 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 .g .g
1492, 148, 49mulg2 14899 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g
1508, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
1512, 148, 52clmmulg 19118 . . . . . . . . . . . . . . 15 CMod .g
15237, 43, 8, 151syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
153150, 152eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . 13
1542, 49lmodvacl 15964 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15535, 27, 29, 154syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
1562, 52clmvs1 19114 . . . . . . . . . . . . . . 15 CMod
15737, 155, 156syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
158133, 45recidi 9745 . . . . . . . . . . . . . . . 16
159158oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15
1602, 38, 52, 39clmvsass 19112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CMod Scalar Scalar
16137, 44, 48, 155, 160syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15
162159, 161syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . 14
163157, 162eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . 13
164153, 163oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . 12
165 lmodabl 15991 . . . . . . . . . . . . . 14
16635, 165syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
1672, 49, 3ablsub4 15437 . . . . . . . . . . . . 13
168166, 8, 8, 27, 29, 167syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . 12
169147, 164, 1683eqtr2d 2474 . . . . . . . . . . 11
170169fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
171146, 170eqtr3d 2470 . . . . . . . . 9
172171oveq1d 6096 . . . . . . . 8
173139, 172eqtr3d 2470 . . . . . . 7
174 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
1754, 2, 3, 174ngpdsr 18651 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
17617, 27, 29, 175syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
17720oveqi 6094 . . . . . . . . . 10
17827, 29ovresd 6214 . . . . . . . . . 10
179177, 178syl5eq 2480 . . . . . . . . 9
1802, 3, 166, 8, 27, 29ablnnncan1 15447 . . . . . . . . . 10
181180fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
182176, 179, 1813eqtr4d 2478 . . . . . . . 8
183182oveq1d 6096 . . . . . . 7
184173, 183oveq12d 6099 . . . . . 6
18520oveqi 6094 . . . . . . . . . . 11
1868, 27ovresd 6214 . . . . . . . . . . 11
187185, 186syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10
1884, 2, 3, 174ngpds 18650 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
18917, 8, 27, 188syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
190187, 189eqtrd 2468 . . . . . . . . 9
191190oveq1d 6096 . . . . . . . 8
19220oveqi 6094 . . . . . . . . . . 11
1938, 29ovresd 6214 . . . . . . . . . . 11
194192, 193syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10
1954, 2, 3, 174ngpds 18650 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
19617, 8, 29, 195syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
197194, 196eqtrd 2468 . . . . . . . . 9
198197oveq1d 6096 . . . . . . . 8
199191, 198oveq12d 6099 . . . . . . 7
200199oveq2d 6097 . . . . . 6
201132, 184, 2003eqtr4d 2478 . . . . 5
202 2t2e4 10127 . . . . . . 7
203202oveq1i 6091 . . . . . 6
204133a1i 11 . . . . . . 7
205204, 204, 114mulassd 9111 . . . . . 6
206203, 205syl5eqr 2482 . . . . 5
207126, 201, 2063brtr4d 4242 . . . 4
20833, 63, 67, 104, 207letrd 9227 . . 3
209 4cn 10074 . . . . 5
210209a1i 11 . . . 4
21113recnd 9114 . . . 4
21264recnd 9114 . . . 4
213210, 211, 212adddid 9112 . . 3
214208, 213breqtrd 4236 . 2
215 remulcl 9075 . . . 4
2161, 64, 215sylancr 645 . . 3
21732, 216, 15leadd2d 9621 . 2
218214, 217mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706   wss 3320  c0 3628   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cxp 4876  ccnv 4877   crn 4879   cres 4880  cfv 5454  (class class class)co 6081  csup 7445  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cdiv 9677  c2 10049  c4 10051  cz 10282  cexp 11382  cabs 12039  cbs 13469   ↾s cress 13470   cplusg 13529  Scalarcsca 13532  cvsca 13533  cds 13538  ctopn 13649  csg 14688  .gcmg 14689  cabel 15413  clmod 15950  clss 16008  cme 16687  cmt 18348  cnm 18624  NrmGrpcngp 18625  CModcclm 19087  ccph 19129  CMetSpccms 19285 This theorem is referenced by:  minveclem3  19330  minveclem7  19336 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-staf 15933  df-srng 15934  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lmhm 16098  df-lvec 16175  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-phl 16857  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-nlm 18634  df-clm 19088  df-cph 19131
 Copyright terms: Public domain W3C validator