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Theorem minveclem2 19327
Description: Lemma for minvec 19337. Any two points  K and 
L in  Y are close to each other if they are close to the infimum of distance to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minveclem2.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
minveclem2.2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
minveclem2.3  |-  ( ph  ->  K  e.  Y )
minveclem2.4  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
minveclem2.5  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
minveclem2.6  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem2  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  B ) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, A    y, J    y, K    y, N    ph, y    y, R    y, U    y, X    y, Y    y, D    y, S    y, L
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem minveclem2
Dummy variables  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10073 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
2 minvec.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  U
)
3 minvec.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
4 minvec.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  U
)
5 minvec.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
6 minvec.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
7 minvec.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
8 minvec.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 minvec.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
10 minvec.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
11 minvec.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 19326 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
1312resqcld 11549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
14 remulcl 9075 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( S ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
151, 13, 14sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
16 cphngp 19136 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
175, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
18 ngpms 18647 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  MetSp )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  MetSp )
20 minvec.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
212, 20msmet 18487 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
23 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
242, 23lssss 16013 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
256, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
26 minveclem2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Y )
2725, 26sseldd 3349 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  X )
28 minveclem2.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
2925, 28sseldd 3349 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  X )
30 metcl 18362 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K D L )  e.  RR )
3122, 27, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K D L )  e.  RR )
3231resqcld 11549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  e.  RR )
3315, 32readdcld 9115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
34 cphlmod 19137 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
355, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
36 cphclm 19152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. CMod )
375, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e. CMod )
38 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
39 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
4038, 39clmzss 19103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e. CMod  ->  ZZ  C_  ( Base `  (Scalar `  U
) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ZZ  C_  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
42 2z 10312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
4441, 43sseldd 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
45 2ne0 10083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
4738, 39cphreccl 19144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  CPreHil  /\  2  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) )  /\  2  =/=  0 )  -> 
( 1  /  2
)  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
485, 44, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
49 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
5049, 23lssvacl 16030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )  /\  ( K  e.  Y  /\  L  e.  Y
) )  ->  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  Y )
5135, 6, 26, 28, 50syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K ( +g  `  U ) L )  e.  Y )
52 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
5338, 52, 39, 23lssvscl 16031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )  /\  ( ( 1  / 
2 )  e.  (
Base `  (Scalar `  U
) )  /\  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  Y ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  Y )
5435, 6, 48, 51, 53syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  Y )
5525, 54sseldd 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  X )
562, 3lmodvsubcl 15989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  X )  -> 
( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) )  e.  X )
5735, 8, 55, 56syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) )  e.  X )
582, 4nmcl 18662 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) )  e.  X
)  ->  ( N `  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  e.  RR )
5917, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  RR )
6059resqcld 11549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
61 remulcl 9075 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR )
621, 60, 61sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR )
6362, 32readdcld 9115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
64 minveclem2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6513, 64readdcld 9115 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )
66 remulcl 9075 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  e.  RR )
671, 65, 66sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )
682, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 19325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
6968simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
7068simp1d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
7168simp2d 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
72 0re 9091 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
73 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
7473ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
7574rspcev 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
7672, 69, 75sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
7772a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
78 infmrgelb 9988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
7970, 71, 76, 77, 78syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8069, 79mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
8180, 11syl6breqr 4252 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
82 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )
83 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) )  ->  ( A  .-  y )  =  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )
8483fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) )  ->  ( N `  ( A  .-  y
) )  =  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )
8584eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) )  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  y ) )  <-> 
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
8685rspcev 3052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  Y  /\  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
8754, 82, 86sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
88 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
89 fvex 5742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
9088, 89elrnmpti 5121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e. 
ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  <->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )
9187, 90sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e. 
ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
9291, 10syl6eleqr 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  R )
93 infmrlb 9989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w  /\  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  R )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )
9470, 76, 92, 93syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )
9511, 94syl5eqbr 4245 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  ( N `  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
96 le2sq2 11457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  RR  /\  S  <_  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )  -> 
( S ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
9712, 81, 59, 95, 96syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
98 4pos 10086 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
991, 98pm3.2i 442 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
100 lemul2 9863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10199, 100mp3an3 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( ( S ^
2 )  <_  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 )  <->  ( 4  x.  ( S ^
2 ) )  <_ 
( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10213, 60, 101syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  <_  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 )  <->  ( 4  x.  ( S ^
2 ) )  <_ 
( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10397, 102mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
10415, 62, 32, 103leadd1dd 9640 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) ) )
105 metcl 18362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A D K )  e.  RR )
10622, 8, 27, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D K )  e.  RR )
107106resqcld 11549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  e.  RR )
108 metcl 18362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A D L )  e.  RR )
10922, 8, 29, 108syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D L )  e.  RR )
110109resqcld 11549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  e.  RR )
111 minveclem2.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
112 minveclem2.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
113107, 110, 65, 65, 111, 112le2addd 9644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
( S ^ 2 )  +  B )  +  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
11465recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  CC )
1151142timesd 10210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  +  B )  +  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
116113, 115breqtrrd 4238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
117107, 110readdcld 9115 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
118 2re 10069 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
119 remulcl 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  e.  RR )
120118, 65, 119sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )
121 2pos 10082 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
122118, 121pm3.2i 442 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
123 lemul2 9863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  <->  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_ 
( 2  x.  (
2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) ) ) )
124122, 123mp3an3 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^
2 ) )  <_ 
( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  <->  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  (
2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) ) ) )
125117, 120, 124syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  (
2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )  <-> 
( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) ) )
126116, 125mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
1272, 3lmodvsubcl 15989 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A  .-  K )  e.  X )
12835, 8, 27, 127syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  K
)  e.  X )
1292, 3lmodvsubcl 15989 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A  .-  L )  e.  X )
13035, 8, 29, 129syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  L
)  e.  X )
1312, 49, 3, 4nmpar 19197 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil  /\  ( A  .-  K )  e.  X  /\  ( A 
.-  L )  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A 
.-  K )  .-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A  .-  K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) ) )
1325, 128, 130, 131syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( ( A 
.-  K ) ( +g  `  U ) ( A  .-  L
) ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
( A  .-  K
)  .-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A  .-  K ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) ) )
133 2cn 10070 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
13459recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  CC )
135 sqmul 11445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ) ^
2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) )
136133, 134, 135sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) )
137 sq2 11477 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
138137oveq1i 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )
139136, 138syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) )
1402, 4, 52, 38, 39cphnmvs 19153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  CPreHil  /\  2  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) )  /\  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) )  e.  X )  -> 
( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
1415, 44, 57, 140syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
14272, 118, 121ltleii 9196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  2
143 absid 12101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
144118, 142, 143mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  2 )  =  2
145144oveq1i 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( N `
 ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
146141, 145syl6eq 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
1472, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55lmodsubdi 16001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2 ( .s
`  U ) ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( ( 2 ( .s `  U ) A ) 
.-  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
148 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (.g `  U
)  =  (.g `  U
)
1492, 148, 49mulg2 14899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  X  ->  (
2 (.g `  U ) A )  =  ( A ( +g  `  U
) A ) )
1508, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2 (.g `  U
) A )  =  ( A ( +g  `  U ) A ) )
1512, 148, 52clmmulg 19118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e. CMod  /\  2  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
2 (.g `  U ) A )  =  ( 2 ( .s `  U
) A ) )
15237, 43, 8, 151syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2 (.g `  U
) A )  =  ( 2 ( .s
`  U ) A ) )
153150, 152eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ( +g  `  U ) A )  =  ( 2 ( .s `  U ) A ) )
1542, 49lmodvacl 15964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  X )
15535, 27, 29, 154syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( K ( +g  `  U ) L )  e.  X )
1562, 52clmvs1 19114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e. CMod  /\  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  X )  ->  (
1 ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( K ( +g  `  U ) L ) )
15737, 155, 156syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( K ( +g  `  U ) L ) )
158133, 45recidi 9745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
159158oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) )  =  ( 1 ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )
1602, 38, 52, 39clmvsass 19112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e. CMod  /\  (
2  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
)  /\  ( 1  /  2 )  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) )  /\  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  X ) )  -> 
( ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
16137, 44, 48, 155, 160syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
162159, 161syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
163157, 162eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K ( +g  `  U ) L )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
164153, 163oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  U ) A )  .-  ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( ( 2 ( .s `  U
) A )  .-  ( 2 ( .s
`  U ) ( ( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
165 lmodabl 15991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  LMod  ->  U  e. 
Abel )
16635, 165syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  Abel )
1672, 49, 3ablsub4 15437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  Abel  /\  ( A  e.  X  /\  A  e.  X )  /\  ( K  e.  X  /\  L  e.  X
) )  ->  (
( A ( +g  `  U ) A ) 
.-  ( K ( +g  `  U ) L ) )  =  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) )
168166, 8, 8, 27, 29, 167syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  U ) A )  .-  ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( ( A 
.-  K ) ( +g  `  U ) ( A  .-  L
) ) )
169147, 164, 1683eqtr2d 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ( .s
`  U ) ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U
) ( A  .-  L ) ) )
170169fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) )
171146, 170eqtr3d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )  =  ( N `  (
( A  .-  K
) ( +g  `  U
) ( A  .-  L ) ) ) )
172171oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) ^ 2 ) )
173139, 172eqtr3d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) ^ 2 ) )
174 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
1754, 2, 3, 174ngpdsr 18651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K ( dist `  U
) L )  =  ( N `  ( L  .-  K ) ) )
17617, 27, 29, 175syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ( dist `  U ) L )  =  ( N `  ( L  .-  K ) ) )
17720oveqi 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( K D L )  =  ( K ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )
17827, 29ovresd 6214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )  =  ( K (
dist `  U ) L ) )
179177, 178syl5eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K D L )  =  ( K ( dist `  U
) L ) )
1802, 3, 166, 8, 27, 29ablnnncan1 15447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  K )  .-  ( A  .-  L ) )  =  ( L  .-  K ) )
181180fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( A  .-  K
)  .-  ( A  .-  L ) ) )  =  ( N `  ( L  .-  K ) ) )
182176, 179, 1813eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K D L )  =  ( N `
 ( ( A 
.-  K )  .-  ( A  .-  L ) ) ) )
183182oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A  .-  K ) 
.-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) )
184173, 183oveq12d 6099 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U
) ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A  .-  K )  .-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) ) )
18520oveqi 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A D K )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) K )
1868, 27ovresd 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) K )  =  ( A (
dist `  U ) K ) )
187185, 186syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A D K )  =  ( A ( dist `  U
) K ) )
1884, 2, 3, 174ngpds 18650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) K )  =  ( N `  ( A  .-  K ) ) )
18917, 8, 27, 188syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ( dist `  U ) K )  =  ( N `  ( A  .-  K ) ) )
190187, 189eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D K )  =  ( N `
 ( A  .-  K ) ) )
191190oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A 
.-  K ) ) ^ 2 ) )
19220oveqi 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A D L )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )
1938, 29ovresd 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )  =  ( A (
dist `  U ) L ) )
194192, 193syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A D L )  =  ( A ( dist `  U
) L ) )
1954, 2, 3, 174ngpds 18650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) L )  =  ( N `  ( A  .-  L ) ) )
19617, 8, 29, 195syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ( dist `  U ) L )  =  ( N `  ( A  .-  L ) ) )
197194, 196eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D L )  =  ( N `
 ( A  .-  L ) ) )
198197oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A 
.-  L ) ) ^ 2 ) )
199191, 198oveq12d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A  .-  K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) )
200199oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A 
.-  K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) ) )
201132, 184, 2003eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) )
202 2t2e4 10127 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
203202oveq1i 6091 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )
204133a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
205204, 204, 114mulassd 9111 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
206203, 205syl5eqr 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
207126, 201, 2063brtr4d 4242 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) )
20833, 63, 67, 104, 207letrd 9227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
209 4cn 10074 . . . . 5  |-  4  e.  CC
210209a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
21113recnd 9114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
21264recnd 9114 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
213210, 211, 212adddid 9112 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) )
214208, 213breqtrd 4236 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) )
215 remulcl 9075 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 4  x.  B
)  e.  RR )
2161, 64, 215sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  B
)  e.  RR )
21732, 216, 15leadd2d 9621 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K D L ) ^
2 )  <_  (
4  x.  B )  <-> 
( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) ) )
218214, 217mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   ran crn 4879    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   2c2 10049   4c4 10051   ZZcz 10282   ^cexp 11382   abscabs 12039   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   +g cplusg 13529  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   distcds 13538   TopOpenctopn 13649   -gcsg 14688  .gcmg 14689   Abelcabel 15413   LModclmod 15950   LSubSpclss 16008   Metcme 16687   MetSpcmt 18348   normcnm 18624  NrmGrpcngp 18625  CModcclm 19087   CPreHilccph 19129  CMetSpccms 19285
This theorem is referenced by:  minveclem3  19330  minveclem7  19336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-staf 15933  df-srng 15934  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lmhm 16098  df-lvec 16175  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-phl 16857  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-nlm 18634  df-clm 19088  df-cph 19131
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