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Theorem minveclem3 18809
Description: Lemma for minvec 18816. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvec.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
Assertion
Ref Expression
minveclem3  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, r, A    J, r,
y    y, F    y, N    ph, r, y    y, R   
y, U    X, r,
y    Y, r, y    D, r, y    S, r, y
Allowed substitution hints:    R( r)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem3
Dummy variables  w  s  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  s  e.  RR+ )
2 2z 10070 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
3 rpexpcl 11138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
s ^ 2 )  e.  RR+ )
41, 2, 3sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s ^ 2 )  e.  RR+ )
54rphalfcld 10418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  e.  RR+ )
6 4nn 9895 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
7 nnrp 10379 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR+
9 rpdivcl 10392 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 )  e.  RR+ )
105, 8, 9sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( (
( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 )  e.  RR+ )
11 minvec.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
1211adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U )
)
13 rabexg 4180 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  _V )
1412, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  _V )
15 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
16 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  / 
4 )  ->  (
( S ^ 2 )  +  r )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )
1716breq2d 4051 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  / 
4 )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) ) )
1817rabbidv 2793 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  / 
4 )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) } )
1915, 18elrnmpt1s 4943 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
)  e.  RR+  /\  {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
2010, 14, 19syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
21 minvec.f . . . . 5  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
2220, 21syl6eleqr 2387 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  F )
23 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  u  ->  ( A D y )  =  ( A D u ) )
2423oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  u  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( A D u ) ^
2 ) )
2524breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) )  <->  ( ( A D u ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) ) )
2625elrab 2936 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) }  <->  ( u  e.  Y  /\  (
( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) )
27 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  ( A D y )  =  ( A D v ) )
2827oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( A D v ) ^
2 ) )
2928breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) )  <->  ( ( A D v ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) ) )
3029elrab 2936 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) }  <->  ( v  e.  Y  /\  (
( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) )
3126, 30anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  /\  v  e.  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) } )  <-> 
( ( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) )  /\  (
v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )
32 simprll 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  u  e.  Y )
33 simprrl 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  v  e.  Y )
3432, 33ovresd 6004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  =  ( u D v ) )
35 minvec.u . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
36 cphngp 18625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
38 ngpms 18138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  MetSp )
39 minvec.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  ( Base `  U
)
40 minvec.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
4139, 40msmet 18019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4237, 38, 413syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4342ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
44 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
4539, 44lssss 15710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
4611, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
4746ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  Y  C_  X
)
4847, 32sseldd 3194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  u  e.  X )
4947, 33sseldd 3194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  v  e.  X )
50 metcl 17913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  (
u D v )  e.  RR )
5143, 48, 49, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( u D v )  e.  RR )
5251resqcld 11287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v ) ^ 2 )  e.  RR )
535adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  e.  RR+ )
5453rpred 10406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  e.  RR )
554adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( s ^ 2 )  e.  RR+ )
5655rpred 10406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( s ^ 2 )  e.  RR )
57 minvec.m . . . . . . . . . . 11  |-  .-  =  ( -g `  U )
58 minvec.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( norm `  U
)
5935ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  U  e.  CPreHil )
6011ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U )
)
61 minvec.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
6261ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( Us  Y
)  e. CMetSp )
63 minvec.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
6463ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  A  e.  X )
65 minvec.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
66 minvec.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
67 minvec.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
6810adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 )  e.  RR+ )
6968rpred 10406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 )  e.  RR )
7068rpge0d 10410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) )
71 simprlr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( ( A D u ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) )
72 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( ( A D v ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) )
7339, 57, 58, 59, 60, 62, 64, 65, 66, 67, 40, 69, 70, 32, 33, 71, 72minveclem2 18806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v ) ^ 2 )  <_ 
( 4  x.  (
( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) )
7453rpcnd 10408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  e.  CC )
75 4cn 9836 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
7675a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  4  e.  CC )
776nnne0i 9796 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  =/=  0
7877a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  4  =/=  0 )
7974, 76, 78divcan2d 9554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( 4  x.  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  / 
4 ) )  =  ( ( s ^
2 )  /  2
) )
8073, 79breqtrd 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v ) ^ 2 )  <_ 
( ( s ^
2 )  /  2
) )
81 rphalflt 10396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s ^ 2 )  e.  RR+  ->  ( ( s ^ 2 )  /  2 )  < 
( s ^ 2 ) )
8255, 81syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  < 
( s ^ 2 ) )
8352, 54, 56, 80, 82lelttrd 8990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v ) ^ 2 )  < 
( s ^ 2 ) )
84 rpre 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  RR )
8584ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  s  e.  RR )
86 metge0 17926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  0  <_  ( u D v ) )
8743, 48, 49, 86syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( u D v ) )
88 rpge0 10382 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR+  ->  0  <_ 
s )
8988ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  0  <_  s )
9051, 85, 87, 89lt2sqd 11295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v )  <  s  <->  ( (
u D v ) ^ 2 )  < 
( s ^ 2 ) ) )
9183, 90mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( u D v )  < 
s )
9234, 91eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s
)
9331, 92sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  /\  v  e.  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) } ) )  ->  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s
)
9493ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  A. u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) } A. v  e. 
{ y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) }  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s )
95 raleq 2749 . . . . . 6  |-  ( w  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) }  ->  ( A. v  e.  w  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s  <->  A. v  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) }  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s ) )
9695raleqbi1dv 2757 . . . . 5  |-  ( w  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) }  ->  ( A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s  <->  A. u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) } A. v  e. 
{ y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) }  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s ) )
9796rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) }  e.  F  /\  A. u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) } A. v  e.  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s )  ->  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s )
9822, 94, 97syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s
)
9998ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  RR+  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s )
10039, 57, 58, 35, 11, 61, 63, 65, 66, 67, 40minveclem3a 18807 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
101 cmetmet 18728 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y ) )
102 metxmet 17915 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
103100, 101, 1023syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y ) )
10439, 57, 58, 35, 11, 61, 63, 65, 66, 67, 40, 21minveclem3b 18808 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  Y ) )
105 fgcfil 18713 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y )  /\  F  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  (
( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  A. s  e.  RR+  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s
) )
106103, 104, 105syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  A. s  e.  RR+  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s ) )
10799, 106mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   ran crn 4706    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   4c4 9813   ZZcz 10040   RR+crp 10370   ^cexp 11120   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   distcds 13233   TopOpenctopn 13342   -gcsg 14381   LSubSpclss 15705   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   fBascfbas 17534   filGencfg 17535   MetSpcmt 17899   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116   CPreHilccph 18618  CauFilccfil 18694   CMetcms 18696  CMetSpccms 18770
This theorem is referenced by:  minveclem4a  18810
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-staf 15626  df-srng 15627  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lmhm 15795  df-lvec 15872  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-phl 16546  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nlm 18125  df-clm 18577  df-cph 18620  df-cfil 18697  df-cmet 18699  df-cms 18773
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