Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem3 Structured version   Unicode version

Theorem minveclem3 19332
 Description: Lemma for minvec 19339. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x
minvec.m
minvec.n
minvec.u
minvec.y
minvec.w s CMetSp
minvec.a
minvec.j
minvec.r
minvec.s
minvec.d
minvec.f
Assertion
Ref Expression
minveclem3 CauFil
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem minveclem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . . . . 9
2 2z 10314 . . . . . . . . 9
3 rpexpcl 11402 . . . . . . . . 9
41, 2, 3sylancl 645 . . . . . . . 8
54rphalfcld 10662 . . . . . . 7
6 4nn 10137 . . . . . . . 8
7 nnrp 10623 . . . . . . . 8
86, 7ax-mp 8 . . . . . . 7
9 rpdivcl 10636 . . . . . . 7
105, 8, 9sylancl 645 . . . . . 6
11 minvec.y . . . . . . . 8
1211adantr 453 . . . . . . 7
13 rabexg 4355 . . . . . . 7
1412, 13syl 16 . . . . . 6
15 eqid 2438 . . . . . . 7
16 oveq2 6091 . . . . . . . . 9
1716breq2d 4226 . . . . . . . 8
1817rabbidv 2950 . . . . . . 7
1915, 18elrnmpt1s 5120 . . . . . 6
2010, 14, 19syl2anc 644 . . . . 5
21 minvec.f . . . . 5
2220, 21syl6eleqr 2529 . . . 4
23 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10
2423oveq1d 6098 . . . . . . . . 9
2524breq1d 4224 . . . . . . . 8
2625elrab 3094 . . . . . . 7
27 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10
2827oveq1d 6098 . . . . . . . . 9
2928breq1d 4224 . . . . . . . 8
3029elrab 3094 . . . . . . 7
3126, 30anbi12i 680 . . . . . 6
32 simprll 740 . . . . . . . 8
33 simprrl 742 . . . . . . . 8
3432, 33ovresd 6216 . . . . . . 7
35 minvec.u . . . . . . . . . . . . 13
36 cphngp 19138 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
37 ngpms 18649 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
38 minvec.x . . . . . . . . . . . . . 14
39 minvec.d . . . . . . . . . . . . . 14
4038, 39msmet 18489 . . . . . . . . . . . . 13
4135, 36, 37, 404syl 20 . . . . . . . . . . . 12
4241ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
43 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15
4438, 43lssss 16015 . . . . . . . . . . . . . 14
4511, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4645ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
4746, 32sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11
4846, 33sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11
49 metcl 18364 . . . . . . . . . . 11
5042, 47, 48, 49syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
5150resqcld 11551 . . . . . . . . 9
525adantr 453 . . . . . . . . . 10
5352rpred 10650 . . . . . . . . 9
544adantr 453 . . . . . . . . . 10
5554rpred 10650 . . . . . . . . 9
56 minvec.m . . . . . . . . . . 11
57 minvec.n . . . . . . . . . . 11
5835ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
5911ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
60 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 s CMetSp
6160ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 s CMetSp
62 minvec.a . . . . . . . . . . . 12
6362ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
64 minvec.j . . . . . . . . . . 11
65 minvec.r . . . . . . . . . . 11
66 minvec.s . . . . . . . . . . 11
6710adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
6867rpred 10650 . . . . . . . . . . 11
6967rpge0d 10654 . . . . . . . . . . 11
70 simprlr 741 . . . . . . . . . . 11
71 simprrr 743 . . . . . . . . . . 11
7238, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71minveclem2 19329 . . . . . . . . . 10
7352rpcnd 10652 . . . . . . . . . . 11
74 4cn 10076 . . . . . . . . . . . 12
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11
766nnne0i 10036 . . . . . . . . . . . 12
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11
7873, 75, 77divcan2d 9794 . . . . . . . . . 10
7972, 78breqtrd 4238 . . . . . . . . 9
80 rphalflt 10640 . . . . . . . . . 10
8154, 80syl 16 . . . . . . . . 9
8251, 53, 55, 79, 81lelttrd 9230 . . . . . . . 8
83 rpre 10620 . . . . . . . . . 10
8483ad2antlr 709 . . . . . . . . 9
85 metge0 18377 . . . . . . . . . 10
8642, 47, 48, 85syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
87 rpge0 10626 . . . . . . . . . 10
8887ad2antlr 709 . . . . . . . . 9
8950, 84, 86, 88lt2sqd 11559 . . . . . . . 8
9082, 89mpbird 225 . . . . . . 7
9134, 90eqbrtrd 4234 . . . . . 6
9231, 91sylan2b 463 . . . . 5
9392ralrimivva 2800 . . . 4
94 raleq 2906 . . . . . 6
9594raleqbi1dv 2914 . . . . 5
9695rspcev 3054 . . . 4
9722, 93, 96syl2anc 644 . . 3
9897ralrimiva 2791 . 2
9938, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39minveclem3a 19330 . . . 4
100 cmetmet 19241 . . . 4
101 metxmet 18366 . . . 4
10299, 100, 1013syl 19 . . 3
10338, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21minveclem3b 19331 . . 3
104 fgcfil 19226 . . 3 CauFil
105102, 103, 104syl2anc 644 . 2 CauFil
10698, 105mpbird 225 1 CauFil
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   wss 3322   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cxp 4878  ccnv 4879   crn 4881   cres 4882  cfv 5456  (class class class)co 6083  csup 7447  cc 8990  cr 8991  cc0 8992   caddc 8995   cmul 8997   clt 9122   cle 9123   cdiv 9679  cn 10002  c2 10051  c4 10053  cz 10284  crp 10614  cexp 11384  cbs 13471   ↾s cress 13472  cds 13540  ctopn 13651  csg 14690  clss 16010  cxmt 16688  cme 16689  cfbas 16691  cfg 16692  cmt 18350  cnm 18626  NrmGrpcngp 18627  ccph 19131  CauFilccfil 19207  cms 19209  CMetSpccms 19287 This theorem is referenced by:  minveclem4a  19333 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-topgen 13669  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-rnghom 15821  df-drng 15839  df-subrg 15868  df-staf 15935  df-srng 15936  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lmhm 16100  df-lvec 16177  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-phl 16859  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-fil 17880  df-xms 18352  df-ms 18353  df-nm 18632  df-ngp 18633  df-nlm 18636  df-clm 19090  df-cph 19133  df-cfil 19210  df-cmet 19212  df-cms 19290
 Copyright terms: Public domain W3C validator