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Theorem minveclem3 19332
Description: Lemma for minvec 19339. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvec.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
Assertion
Ref Expression
minveclem3  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, r, A    J, r,
y    y, F    y, N    ph, r, y    y, R   
y, U    X, r,
y    Y, r, y    D, r, y    S, r, y
Allowed substitution hints:    R( r)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem3
Dummy variables  w  s  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  s  e.  RR+ )
2 2z 10314 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
3 rpexpcl 11402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
s ^ 2 )  e.  RR+ )
41, 2, 3sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s ^ 2 )  e.  RR+ )
54rphalfcld 10662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  e.  RR+ )
6 4nn 10137 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
7 nnrp 10623 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR+
9 rpdivcl 10636 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 )  e.  RR+ )
105, 8, 9sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( (
( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 )  e.  RR+ )
11 minvec.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
1211adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U )
)
13 rabexg 4355 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  _V )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  _V )
15 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
16 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  / 
4 )  ->  (
( S ^ 2 )  +  r )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )
1716breq2d 4226 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  / 
4 )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) ) )
1817rabbidv 2950 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  / 
4 )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) } )
1915, 18elrnmpt1s 5120 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
)  e.  RR+  /\  {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
2010, 14, 19syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
21 minvec.f . . . . 5  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
2220, 21syl6eleqr 2529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  F )
23 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  u  ->  ( A D y )  =  ( A D u ) )
2423oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  u  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( A D u ) ^
2 ) )
2524breq1d 4224 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) )  <->  ( ( A D u ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) ) )
2625elrab 3094 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) }  <->  ( u  e.  Y  /\  (
( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) )
27 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  ( A D y )  =  ( A D v ) )
2827oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( A D v ) ^
2 ) )
2928breq1d 4224 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) )  <->  ( ( A D v ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) ) )
3029elrab 3094 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) }  <->  ( v  e.  Y  /\  (
( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) )
3126, 30anbi12i 680 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  /\  v  e.  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) } )  <-> 
( ( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) )  /\  (
v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )
32 simprll 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  u  e.  Y )
33 simprrl 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  v  e.  Y )
3432, 33ovresd 6216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  =  ( u D v ) )
35 minvec.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
36 cphngp 19138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
37 ngpms 18649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  MetSp )
38 minvec.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  ( Base `  U
)
39 minvec.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
4038, 39msmet 18489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4135, 36, 37, 404syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4241ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
4438, 43lssss 16015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
4511, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
4645ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  Y  C_  X
)
4746, 32sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  u  e.  X )
4846, 33sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  v  e.  X )
49 metcl 18364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  (
u D v )  e.  RR )
5042, 47, 48, 49syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( u D v )  e.  RR )
5150resqcld 11551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v ) ^ 2 )  e.  RR )
525adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  e.  RR+ )
5352rpred 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  e.  RR )
544adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( s ^ 2 )  e.  RR+ )
5554rpred 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( s ^ 2 )  e.  RR )
56 minvec.m . . . . . . . . . . 11  |-  .-  =  ( -g `  U )
57 minvec.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( norm `  U
)
5835ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  U  e.  CPreHil )
5911ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U )
)
60 minvec.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
6160ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( Us  Y
)  e. CMetSp )
62 minvec.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
6362ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  A  e.  X )
64 minvec.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
65 minvec.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
66 minvec.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
6710adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 )  e.  RR+ )
6867rpred 10650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 )  e.  RR )
6967rpge0d 10654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) )
70 simprlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( ( A D u ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) )
71 simprrr 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( ( A D v ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) )
7238, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71minveclem2 19329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v ) ^ 2 )  <_ 
( 4  x.  (
( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) )
7352rpcnd 10652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  e.  CC )
74 4cn 10076 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  4  e.  CC )
766nnne0i 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  =/=  0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  4  =/=  0 )
7873, 75, 77divcan2d 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( 4  x.  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  / 
4 ) )  =  ( ( s ^
2 )  /  2
) )
7972, 78breqtrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v ) ^ 2 )  <_ 
( ( s ^
2 )  /  2
) )
80 rphalflt 10640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s ^ 2 )  e.  RR+  ->  ( ( s ^ 2 )  /  2 )  < 
( s ^ 2 ) )
8154, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  < 
( s ^ 2 ) )
8251, 53, 55, 79, 81lelttrd 9230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v ) ^ 2 )  < 
( s ^ 2 ) )
83 rpre 10620 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  RR )
8483ad2antlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  s  e.  RR )
85 metge0 18377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  0  <_  ( u D v ) )
8642, 47, 48, 85syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( u D v ) )
87 rpge0 10626 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR+  ->  0  <_ 
s )
8887ad2antlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  0  <_  s )
8950, 84, 86, 88lt2sqd 11559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v )  <  s  <->  ( (
u D v ) ^ 2 )  < 
( s ^ 2 ) ) )
9082, 89mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( u D v )  < 
s )
9134, 90eqbrtrd 4234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s
)
9231, 91sylan2b 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  /\  v  e.  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) } ) )  ->  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s
)
9392ralrimivva 2800 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  A. u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) } A. v  e. 
{ y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) }  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s )
94 raleq 2906 . . . . . 6  |-  ( w  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) }  ->  ( A. v  e.  w  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s  <->  A. v  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) }  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s ) )
9594raleqbi1dv 2914 . . . . 5  |-  ( w  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) }  ->  ( A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s  <->  A. u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) } A. v  e. 
{ y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) }  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s ) )
9695rspcev 3054 . . . 4  |-  ( ( { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) }  e.  F  /\  A. u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) } A. v  e.  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s )  ->  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s )
9722, 93, 96syl2anc 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s
)
9897ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  RR+  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s )
9938, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39minveclem3a 19330 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
100 cmetmet 19241 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y ) )
101 metxmet 18366 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
10299, 100, 1013syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y ) )
10338, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21minveclem3b 19331 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  Y ) )
104 fgcfil 19226 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y )  /\  F  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  (
( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  A. s  e.  RR+  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s
) )
105102, 103, 104syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  A. s  e.  RR+  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s ) )
10698, 105mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   ran crn 4881    |` cres 4882   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   supcsup 7447   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   4c4 10053   ZZcz 10284   RR+crp 10614   ^cexp 11384   Basecbs 13471   ↾s cress 13472   distcds 13540   TopOpenctopn 13651   -gcsg 14690   LSubSpclss 16010   * Metcxmt 16688   Metcme 16689   fBascfbas 16691   filGencfg 16692   MetSpcmt 18350   normcnm 18626  NrmGrpcngp 18627   CPreHilccph 19131  CauFilccfil 19207   CMetcms 19209  CMetSpccms 19287
This theorem is referenced by:  minveclem4a  19333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-topgen 13669  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-rnghom 15821  df-drng 15839  df-subrg 15868  df-staf 15935  df-srng 15936  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lmhm 16100  df-lvec 16177  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-phl 16859  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-fil 17880  df-xms 18352  df-ms 18353  df-nm 18632  df-ngp 18633  df-nlm 18636  df-clm 19090  df-cph 19133  df-cfil 19210  df-cmet 19212  df-cms 19290
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