Theorem minveclem37 8512

Description: Lemma for minveceu 8514.

Hypotheses

Ref	Expression
minvec35.x	|- X = (Base` U)
minvec35.g	|- G = (+v` U)
minvec35.m	|- M = (-v` U)
minvec35.s	|- S = (.s` U)
minvec35.n	|- N = (norm` U)
minvec35.y	|- Y = (Base` W)
minvec35.u	|- U e. CPreHil
minvec35.a	|- A e. X
minvec36.w	|- W e. (SubSp` U)
minvec36.2	|- P = -usup(R, RR, < )
minvec36.1	|- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}

Assertion

Ref	Expression
minveclem37	|- ((a e. Y /\ b e. Y) -> P <_ (N` (AM((1 / 2)S(aGb)))))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,G,y   x,M,y   x,N,y   x,S,y   x,U,y   x,W,y   x,Y,y   a,b,x,y

Proof of Theorem minveclem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec35.u	. . . . . 6 |- U e. CPreHil
2	1	phnvi 8406	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
3		minvec36.w	. . . . 5 |- W e. (SubSp` U)
4		minvec35.y	. . . . . 6 |- Y = (Base` W)
5		minvec35.g	. . . . . 6 |- G = (+v` U)
6		eqid 1468	. . . . . 6 |- (+v` W) = (+v` W)
7		eqid 1468	. . . . . 6 |- (SubSp` U) = (SubSp` U)
8	4, 5, 6, 7	sspgval 8322	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) /\ (a e. Y /\ b e. Y)) -> (a(+v` W)b) = (aGb))
9	2, 3, 8	mpanl12 706	. . . 4 |- ((a e. Y /\ b e. Y) -> (a(+v` W)b) = (aGb))
10	1, 3	minveclem1 8476	. . . . 5 |- W e. NrmCVec
11	4, 6	nvgcl 8179	. . . . 5 |- ((W e. NrmCVec /\ a e. Y /\ b e. Y) -> (a(+v` W)b) e. Y)
12	10, 11	mp3an1 900	. . . 4 |- ((a e. Y /\ b e. Y) -> (a(+v` W)b) e. Y)
13	9, 12	eqeltrrd 1541	. . 3 |- ((a e. Y /\ b e. Y) -> (aGb) e. Y)
14		2cn 5927	. . . . . 6 |- 2 e. CC
15		2ne0 5937	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
16	14, 15	reccl 5682	. . . . 5 |- (1 / 2) e. CC
17		minvec35.s	. . . . . . 7 |- S = (.s` U)
18		eqid 1468	. . . . . . 7 |- (.s` W) = (.s` W)
19	4, 17, 18, 7	sspsval 8324	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) /\ ((1 / 2) e. CC /\ (aGb) e. Y)) -> ((1 / 2)(.s` W)(aGb)) = ((1 / 2)S(aGb)))
20	2, 3, 19	mpanl12 706	. . . . 5 |- (((1 / 2) e. CC /\ (aGb) e. Y) -> ((1 / 2)(.s` W)(aGb)) = ((1 / 2)S(aGb)))
21	16, 20	mpan 693	. . . 4 |- ((aGb) e. Y -> ((1 / 2)(.s` W)(aGb)) = ((1 / 2)S(aGb)))
22	4, 18	nvscl 8187	. . . . 5 |- ((W e. NrmCVec /\ (1 / 2) e. CC /\ (aGb) e. Y) -> ((1 / 2)(.s` W)(aGb)) e. Y)
23	10, 16, 22	mp3an12 903	. . . 4 |- ((aGb) e. Y -> ((1 / 2)(.s` W)(aGb)) e. Y)
24	21, 23	eqeltrrd 1541	. . 3 |- ((aGb) e. Y -> ((1 / 2)S(aGb)) e. Y)
25	13, 24	syl 10	. 2 |- ((a e. Y /\ b e. Y) -> ((1 / 2)S(aGb)) e. Y)
26		minvec36.1	. . 3 |- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}
27		minvec35.m	. . 3 |- M = (-v` U)
28		minvec35.n	. . 3 |- N = (norm` U)
29		minvec35.x	. . 3 |- X = (Base` U)
30		minvec35.a	. . 3 |- A e. X
31		minvec36.2	. . 3 |- P = -usup(R, RR, < )
32	26, 1, 27, 28, 29, 3, 4, 30, 31	minveclem13 8488	. 2 |- (((1 / 2)S(aGb)) e. Y -> P <_ (N` (AM((1 / 2)S(aGb)))))
33	25, 32	syl 10	1 |- ((a e. Y /\ b e. Y) -> P <_ (N` (AM((1 / 2)S(aGb)))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {cab 1456  E.wrex 1638   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  CCcc 5204  RRcr 5205  1c1 5207  -ucneg 5265   / cdiv 5266   <_ cle 5267   < clt 5458  2c2 5908  NrmCVeccnv 8141  +vcpv 8142  Basecba 8143  .scns 8144  -vcnsb 8146  normcnm 8147  SubSpcss 8314  CPreHilcphl 8402

This theorem is referenced by:  minveclem38 8513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-2 5917  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ssp 8315  df-ph 8403

Copyright terms: Public domain