MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem3a Structured version   Unicode version

Theorem minveclem3a 19329
Description: Lemma for minvec 19338. 
D is a complete metric when restricted to  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem3a  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, A    y, J    y, N    ph, y    y, R   
y, U    y, X    y, Y    y, D    y, S

Proof of Theorem minveclem3a
StepHypRef Expression
1 minvec.w . . 3  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
2 eqid 2437 . . . 4  |-  ( Base `  ( Us  Y ) )  =  ( Base `  ( Us  Y ) )
3 eqid 2437 . . . 4  |-  ( (
dist `  ( Us  Y
) )  |`  (
( Base `  ( Us  Y
) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )  =  ( ( dist `  ( Us  Y ) )  |`  ( ( Base `  ( Us  Y ) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )
42, 3cmscmet 19300 . . 3  |-  ( ( Us  Y )  e. CMetSp  ->  ( ( dist `  ( Us  Y ) )  |`  ( ( Base `  ( Us  Y ) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )  e.  ( CMet `  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  ( Us  Y ) )  |`  ( ( Base `  ( Us  Y ) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )  e.  ( CMet `  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )
6 minvec.d . . . 4  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
76reseq1i 5143 . . 3  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )  |`  ( Y  X.  Y
) )
8 minvec.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
9 minvec.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  U
)
10 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
119, 10lssss 16014 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
128, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
13 xpss12 4982 . . . . . 6  |-  ( ( Y  C_  X  /\  Y  C_  X )  -> 
( Y  X.  Y
)  C_  ( X  X.  X ) )
1412, 12, 13syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  Y
)  C_  ( X  X.  X ) )
15 resabs1 5176 . . . . 5  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  ( X  X.  X )  ->  (
( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( dist `  U )  |`  ( X  X.  X ) )  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
17 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( Us  Y )  =  ( Us  Y )
18 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
1917, 18ressds 13642 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  ( dist `  U )  =  (
dist `  ( Us  Y
) ) )
208, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( dist `  U
)  =  ( dist `  ( Us  Y ) ) )
2117, 9ressbas2 13521 . . . . . . 7  |-  ( Y 
C_  X  ->  Y  =  ( Base `  ( Us  Y ) ) )
2212, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  =  ( Base `  ( Us  Y ) ) )
2322, 22xpeq12d 4904 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  Y
)  =  ( (
Base `  ( Us  Y
) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )
2420, 23reseq12d 5148 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  U
)  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( dist `  ( Us  Y ) )  |`  ( ( Base `  ( Us  Y ) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) ) )
2516, 24eqtrd 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( dist `  U )  |`  ( X  X.  X ) )  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( ( dist `  ( Us  Y ) )  |`  ( ( Base `  ( Us  Y ) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) ) )
267, 25syl5eq 2481 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( dist `  ( Us  Y ) )  |`  ( ( Base `  ( Us  Y ) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) ) )
2722fveq2d 5733 . 2  |-  ( ph  ->  ( CMet `  Y
)  =  ( CMet `  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )
285, 26, 273eltr4d 2518 1  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321    e. cmpt 4267    X. cxp 4877   `'ccnv 4878   ran crn 4880    |` cres 4881   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   supcsup 7446   RRcr 8990    < clt 9121   Basecbs 13470   ↾s cress 13471   distcds 13539   TopOpenctopn 13650   -gcsg 14689   LSubSpclss 16009   normcnm 18625   CPreHilccph 19130   CMetcms 19208  CMetSpccms 19286
This theorem is referenced by:  minveclem3  19331  minveclem4a  19332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-ds 13552  df-lss 16010  df-cms 19289
  Copyright terms: Public domain W3C validator