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Theorem minveclem4 18796
Description: Lemma for minvec 18800. The convergent point of the Cauchy sequence  F attains the minimum distance, and so is closer to  A than any other point in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvec.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
minvec.p  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
minvec.t  |-  T  =  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, r, y, A    J, r, x, y    x, P, y    x, F, y   
x, N, y    ph, r, x, y    x, R, y   
x, U, y    X, r, x, y    Y, r, x, y    D, r, x, y    S, r, x, y    T, r, y
Allowed substitution hints:    P( r)    R( r)    T( x)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem4
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3390 . . 3  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  Y
2 minvec.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  U
)
3 minvec.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
4 minvec.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  U
)
5 minvec.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
6 minvec.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
7 minvec.w . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
8 minvec.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 minvec.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
10 minvec.r . . . 4  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
11 minvec.s . . . 4  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
12 minvec.d . . . 4  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
13 minvec.f . . . 4  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
14 minvec.p . . . 4  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4a 18794 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
161, 15sseldi 3178 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
1712oveqi 5871 . . . . . . 7  |-  ( A D P )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) P )
182, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4b 18795 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
198, 18ovresd 5988 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) P )  =  ( A (
dist `  U ) P ) )
2017, 19syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D P )  =  ( A ( dist `  U
) P ) )
21 cphngp 18609 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
225, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
23 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
244, 2, 3, 23ngpds 18125 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) P )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
2522, 8, 18, 24syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ( dist `  U ) P )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
2620, 25eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A D P )  =  ( N `
 ( A  .-  P ) ) )
2726adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
28 ngpms 18122 . . . . . . . 8  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  MetSp )
292, 12msmet 18003 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3022, 28, 293syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31 metcl 17897 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A D P )  e.  RR )
3230, 8, 18, 31syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D P )  e.  RR )
3332adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  e.  RR )
342, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 18789 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
3534adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
3622adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
37 cphlmod 18610 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
385, 37syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3938adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
408adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
41 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
422, 41lssss 15694 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
436, 42syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
4443sselda 3180 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
452, 3lmodvsubcl 15670 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
4639, 40, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
472, 4nmcl 18137 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
4836, 46, 47syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
4934, 32ltnled 8966 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  -.  ( A D P )  <_  S ) )
502, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13minveclem3b 18792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  Y ) )
51 fbsspw 17527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  C_  ~P Y )
5250, 51syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P Y
)
53 sspwb 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
5443, 53sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ~P Y  C_  ~P X )
5552, 54sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P X
)
56 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Base `  U )  e.  _V
572, 56eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X  e. 
_V
5857a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
59 fbasweak 17560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
6050, 55, 58, 59syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
6160adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
62 fgcl 17573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
64 ssfg 17567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
6561, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
66 minvec.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  T  =  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )
6732, 34readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR )
6867rehalfcld 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
)  e.  RR )
6968resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  e.  RR )
7034resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
7169, 70resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
7271adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  e.  RR )
7334, 32, 34ltadd1d 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  ( S  +  S )  <  (
( A D P )  +  S ) ) )
7434recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
75742timesd 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( S  +  S ) )
7675breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D P )  +  S )  <-> 
( S  +  S
)  <  ( ( A D P )  +  S ) ) )
77 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  RR
78 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <  2
7977, 78pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
8079a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
81 ltmuldiv2 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  S )  <  ( ( A D P )  +  S )  <->  S  <  ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
8234, 67, 80, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D P )  +  S )  <-> 
S  <  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) ) )
8373, 76, 823bitr2d 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  S  <  ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
842, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 18788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8584simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
8684simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
8784simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
88 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  e.  RR
89 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
9089ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9190rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
9288, 85, 91sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
9388a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
94 infmrgelb 9734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9586, 87, 92, 93, 94syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9685, 95mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
9796, 11syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
98 metge0 17910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  0  <_  ( A D P ) )
9930, 8, 18, 98syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A D P ) )
10032, 34, 99, 97addge0d 9348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A D P )  +  S ) )
101 divge0 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A D P )  +  S ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  0  <_  ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) )
10267, 100, 80, 101syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) )
10334, 68, 97, 102lt2sqd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S  <  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 )  <-> 
( S ^ 2 )  <  ( ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
10470, 69posdifd 9359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  <  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) ) ) )
10583, 103, 1043bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
106105biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  0  <  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
10772, 106elrpd 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  e.  RR+ )
10866, 107syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  T  e.  RR+ )
1096adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U )
)
110 rabexg 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  _V )
111109, 110syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  _V )
112 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
113 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  T  ->  (
( S ^ 2 )  +  r )  =  ( ( S ^ 2 )  +  T ) )
114113breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  T  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  T ) ) )
115114rabbidv 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  T  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  T ) } )
116112, 115elrnmpt1s 4927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
117108, 111, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
118117, 13syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  F )
11965, 118sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ( X filGen F ) )
120 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  C_  X
121120a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  C_  X
)
12266oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S ^ 2 )  +  T )  =  ( ( S ^
2 )  +  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
12370ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
124123recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
12568ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 )  e.  RR )
126125resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  e.  RR )
127126recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  e.  CC )
128124, 127pncan3d 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 ) )
129122, 128syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  T )  =  ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 ) )
130129breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 ) ) )
13130ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
1328ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
13344adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
134 metcl 17897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  e.  RR )
135131, 132, 133, 134syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D y )  e.  RR )
136 metge0 17910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( A D y ) )
137131, 132, 133, 136syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( A D y ) )
138102ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) )
139135, 125, 137, 138le2sqd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 ) ) )
140130, 139bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T )  <->  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ) )
141140rabbidva 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  =  { y  e.  Y  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } )
14243adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  Y  C_  X
)
143 rabss2 3256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y 
C_  X  ->  { y  e.  Y  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  C_  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
144142, 143syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  C_  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) } )
145141, 144eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  C_  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
146 filss 17548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ( X filGen F )  /\  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } 
C_  X  /\  {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  C_  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  e.  ( X filGen F ) )
14763, 119, 121, 145, 146syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  e.  ( X filGen F ) )
148 flimclsi 17673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) }  e.  ( X filGen F )  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } ) )
149147, 148syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } ) )
150 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  ( J  fLim  ( X filGen F ) )
151150, 15sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) )
152151adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  P  e.  ( J  fLim  ( X
filGen F ) ) )
153149, 152sseldd 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) } ) )
154 ngpxms 18123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  * MetSp )
1552, 12xmsxmet 18002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  * MetSp  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
15622, 154, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
157156adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
1588adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  A  e.  X )
15968adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  e.  RR )
160159rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  e. 
RR* )
161 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
162 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  =  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) }
163161, 162blcld 18051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
)  e.  RR* )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) }  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  D )
) )
164157, 158, 160, 163syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  D
) ) )
1659, 2, 12xmstopn 17997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  * MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  D
) )
16622, 154, 1653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
167166adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  J  =  ( MetOpen `  D )
)
168167fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( Clsd `  J )  =  (
Clsd `  ( MetOpen `  D
) ) )
169164, 168eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  e.  (
Clsd `  J )
)
170 cldcls 16779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) }  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } )  =  {
y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
171169, 170syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } )  =  {
y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
172153, 171eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  P  e.  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
173 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  P  ->  ( A D y )  =  ( A D P ) )
174173breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  P  ->  (
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  <->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
175174elrab 2923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  <->  ( P  e.  X  /\  ( A D P )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ) )
176175simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  ->  ( A D P )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) )
177172, 176syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) )
17832, 34, 32leadd2d 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A D P )  <_  S  <->  ( ( A D P )  +  ( A D P ) )  <_  ( ( A D P )  +  S ) ) )
17932recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A D P )  e.  CC )
1801792timesd 9954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A D P ) )  =  ( ( A D P )  +  ( A D P ) ) )
181180breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D P ) )  <_  (
( A D P )  +  S )  <-> 
( ( A D P )  +  ( A D P ) )  <_  ( ( A D P )  +  S ) ) )
182 lemuldiv2 9636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A D P )  e.  RR  /\  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  ( A D P ) )  <_  ( ( A D P )  +  S )  <->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
18379, 182mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A D P )  e.  RR  /\  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( A D P ) )  <_ 
( ( A D P )  +  S
)  <->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
18432, 67, 183syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D P ) )  <_  (
( A D P )  +  S )  <-> 
( A D P )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) ) )
185178, 181, 1843bitr2d 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A D P )  <_  S  <->  ( A D P )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ) )
186185biimpar 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) )  ->  ( A D P )  <_  S
)
187177, 186syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( A D P )  <_  S
)
188187ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  -> 
( A D P )  <_  S )
)
18949, 188sylbird 226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( A D P )  <_  S  ->  ( A D P )  <_  S
) )
190189pm2.18d 103 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D P )  <_  S )
191190adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  <_  S )
19286adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
19392adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
194 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
195 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
196 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
197196elrnmpt1 4928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Y  /\  ( N `  ( A 
.-  y ) )  e.  _V )  -> 
( N `  ( A  .-  y ) )  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) )
198194, 195, 197sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
199198, 10syl6eleqr 2374 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  R )
200 infmrlb 9735 . . . . . . 7  |-  ( ( R  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w  /\  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  R )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
201192, 193, 199, 200syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
20211, 201syl5eqbr 4056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
20333, 35, 48, 191, 202letrd 8973 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) ) )
20427, 203eqbrtrrd 4045 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  P ) )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) ) )
205204ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
206 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( x  =  P  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  P
) )
207206fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  P  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
208207breq1d 4033 . . . 4  |-  ( x  =  P  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  ( N `  ( A  .-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) ) )
209208ralbidv 2563 . . 3  |-  ( x  =  P  ->  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
210209rspcev 2884 . 2  |-  ( ( P  e.  Y  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
21116, 205, 210syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   ^cexp 11104   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   distcds 13217   TopOpenctopn 13326   -gcsg 14365   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372   Clsdccld 16753   clsccl 16755   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540    fLim cflim 17629   *
MetSpcxme 17882   MetSpcmt 17883   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100   CPreHilccph 18602  CMetSpccms 18754
This theorem is referenced by:  minveclem5  18797
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-staf 15610  df-srng 15611  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-phl 16530  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-flim 17634  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nlm 18109  df-clm 18561  df-cph 18604  df-cfil 18681  df-cmet 18683  df-cms 18757
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