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Theorem minveclem4a 18794
Description: Lemma for minvec 18800. 
F converges to a point 
P in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvec.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
minvec.p  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem4a  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, r, A    J, r,
y    y, P    y, F    y, N    ph, r, y    y, R    y, U    X, r,
y    Y, r, y    D, r, y    S, r, y
Allowed substitution hints:    P( r)    R( r)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem4a
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.p . 2  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
2 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  e.  _V
32uniex 4516 . . . 4  |-  U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )  e.  _V
43snid 3667 . . 3  |-  U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )  e.  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) }
5 minvec.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
6 cphngp 18609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
7 ngpxms 18123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  * MetSp )
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  * MetSp )
9 minvec.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
10 minvec.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  U
)
11 minvec.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
129, 10, 11xmstopn 17997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  * MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  D
) )
138, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
1413oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  =  ( ( MetOpen `  D )t  Y
) )
1510, 11xmsxmet 18002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  * MetSp  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
168, 15syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
17 minvec.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
18 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
1910, 18lssss 15694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
2017, 19syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
23 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
2421, 22, 23metrest 18070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( ( MetOpen
`  D )t  Y )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
2516, 20, 24syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  D
)t 
Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
2614, 25eqtr2d 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  =  ( Jt  Y ) )
27 minvec.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .-  =  ( -g `  U )
28 minvec.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( norm `  U
)
29 minvec.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
30 minvec.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
31 minvec.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
32 minvec.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
33 minvec.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
3410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3b 18792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  Y ) )
35 fgcl 17573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
) )
37 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  U )  e.  _V
3810, 37eqeltri 2353 . . . . . . . . . . 11  |-  X  e. 
_V
3938a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
40 trfg 17586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  /\  Y  C_  X  /\  X  e.  _V )  ->  ( ( X
filGen ( Y filGen F ) )t  Y )  =  ( Y filGen F ) )
4136, 20, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X filGen ( Y filGen F ) )t  Y )  =  ( Y
filGen F ) )
42 fgabs 17574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
4334, 20, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X filGen ( Y
filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
4443oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X filGen ( Y filGen F ) )t  Y )  =  ( ( X filGen F )t  Y ) )
4541, 44eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  =  ( ( X
filGen F )t  Y ) )
4626, 45oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( Y filGen F ) )  =  ( ( Jt  Y )  fLim  (
( X filGen F )t  Y ) ) )
47 xmstps 17999 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  * MetSp  ->  U  e.  TopSp )
488, 47syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  TopSp )
4910, 9istps 16674 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5048, 49sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
51 fbsspw 17527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  C_  ~P Y )
5234, 51syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P Y
)
53 sspwb 4223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
5420, 53sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ~P Y  C_  ~P X )
5552, 54sstrd 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P X
)
56 fbasweak 17560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
5734, 55, 39, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
58 fgcl 17573 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
5957, 58syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
60 filfbas 17543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  e.  (
fBas `  Y )
)
6134, 35, 603syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
) )
62 fbsspw 17527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  C_  ~P Y )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ~P Y )
6463, 54sstrd 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ~P X )
65 fbasweak 17560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  ( Y filGen F )  C_  ~P X  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X ) )
6661, 64, 39, 65syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X
) )
67 ssfg 17567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( Y filGen F )  C_  ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
6968, 43sseqtrd 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ( X filGen F ) )
70 filtop 17550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen F ) )
7136, 70syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Y
filGen F ) )
7269, 71sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X
filGen F ) )
73 flimrest 17678 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  ( ( X filGen F )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
7450, 59, 72, 73syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  Y ) 
fLim  ( ( X
filGen F )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y ) )
7546, 74eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( Y filGen F ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y ) )
7610, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11minveclem3a 18791 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
7710, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3 18793 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
7823cmetcvg 18711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  /\  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( Y filGen F ) )  =/=  (/) )
7976, 77, 78syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( Y filGen F ) )  =/=  (/) )
8075, 79eqnetrrd 2466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =/=  (/) )
8180neneqd 2462 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y
)  =  (/) )
82 inss1 3389 . . . . . . 7  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  ( J  fLim  ( X filGen F ) )
8322methaus 18066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Haus )
8415, 83syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  * MetSp  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Haus )
8512, 84eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  * MetSp  ->  J  e.  Haus )
86 hausflimi 17675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
878, 85, 863syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
88 ssn0 3487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  C_  ( J  fLim  ( X
filGen F ) )  /\  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =/=  (/) )  ->  ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  =/=  (/) )
8982, 80, 88sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =/=  (/) )
90 n0moeu 3467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =/=  (/)  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  <->  E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) ) )
9189, 90syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  <-> 
E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) ) )
9287, 91mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
93 euen1b 6932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  ~~  1o 
<->  E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
9492, 93sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) 
~~  1o )
95 en1b 6929 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  ~~  1o 
<->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) } )
9694, 95sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) } )
9782, 96syl5sseq 3226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  C_  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) } )
98 sssn 3772 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  C_  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) }  <->  ( ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  =  (/)  \/  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } ) )
9997, 98sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y
)  =  (/)  \/  (
( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } ) )
10099ord 366 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  =  (/)  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } ) )
10181, 100mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } )
1024, 101syl5eleqr 2370 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )  e.  ( ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y
) )
1031, 102syl5eqel 2367 1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143   E*wmo 2144    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ~~ cen 6860   supcsup 7193   RRcr 8736    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868   2c2 9795   RR+crp 10354   ^cexp 11104   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   distcds 13217   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   -gcsg 14365   LSubSpclss 15689   * Metcxmt 16369   MetOpencmopn 16372  TopOnctopon 16632   TopSpctps 16634   Hauscha 17036   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540    fLim cflim 17629   *
MetSpcxme 17882   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100   CPreHilccph 18602  CauFilccfil 18678   CMetcms 18680  CMetSpccms 18754
This theorem is referenced by:  minveclem4b  18795  minveclem4  18796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-staf 15610  df-srng 15611  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-phl 16530  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-flim 17634  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nlm 18109  df-clm 18561  df-cph 18604  df-cfil 18681  df-cmet 18683  df-cms 18757
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