MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4b Unicode version

Theorem minveclem4b 19199
Description: Lemma for minvec 19204. The convergent point of the Cauchy sequence  F is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvec.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
minvec.p  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem4b  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, r, A    J, r,
y    y, P    y, F    y, N    ph, r, y    y, R    y, U    X, r,
y    Y, r, y    D, r, y    S, r, y
Allowed substitution hints:    P( r)    R( r)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem4b
StepHypRef Expression
1 minvec.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
2 minvec.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  U
)
3 eqid 2387 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
42, 3lssss 15940 . . 3  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
51, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
6 inss2 3505 . . 3  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  Y
7 minvec.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 minvec.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  U
)
9 minvec.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
10 minvec.w . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
11 minvec.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
12 minvec.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
13 minvec.r . . . 4  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
14 minvec.s . . . 4  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
15 minvec.d . . . 4  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
16 minvec.f . . . 4  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
17 minvec.p . . . 4  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
182, 7, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17minveclem4a 19198 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
196, 18sseldi 3289 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
205, 19sseldd 3292 1  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653    i^i cin 3262    C_ wss 3263   U.cuni 3957   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    X. cxp 4816   `'ccnv 4817   ran crn 4819    |` cres 4820   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   supcsup 7380   RRcr 8922    + caddc 8926    < clt 9053    <_ cle 9054   2c2 9981   RR+crp 10544   ^cexp 11309   Basecbs 13396   ↾s cress 13397   distcds 13465   TopOpenctopn 13576   -gcsg 14615   LSubSpclss 15935   filGencfg 16616    fLim cflim 17887   normcnm 18495   CPreHilccph 19000  CMetSpccms 19154
This theorem is referenced by:  minveclem4  19200
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-rest 13577  df-topgen 13594  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-mhm 14665  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-ghm 14931  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-dvr 15715  df-rnghom 15746  df-drng 15764  df-subrg 15793  df-staf 15860  df-srng 15861  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lmhm 16025  df-lvec 16102  df-sra 16171  df-rgmod 16172  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-phl 16780  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-ntr 17007  df-nei 17085  df-haus 17301  df-fil 17799  df-flim 17892  df-xms 18259  df-ms 18260  df-nm 18501  df-ngp 18502  df-nlm 18505  df-clm 18959  df-cph 19002  df-cfil 19079  df-cmet 19081  df-cms 19157
  Copyright terms: Public domain W3C validator