MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4b Unicode version

Theorem minveclem4b 18811
Description: Lemma for minvec 18816. The convergent point of the Cauchy sequence  F is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvec.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
minvec.p  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem4b  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, r, A    J, r,
y    y, P    y, F    y, N    ph, r, y    y, R    y, U    X, r,
y    Y, r, y    D, r, y    S, r, y
Allowed substitution hints:    P( r)    R( r)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem4b
StepHypRef Expression
1 minvec.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
2 minvec.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  U
)
3 eqid 2296 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
42, 3lssss 15710 . . 3  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
51, 4syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
6 inss2 3403 . . 3  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  Y
7 minvec.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 minvec.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  U
)
9 minvec.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
10 minvec.w . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
11 minvec.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
12 minvec.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
13 minvec.r . . . 4  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
14 minvec.s . . . 4  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
15 minvec.d . . . 4  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
16 minvec.f . . . 4  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
17 minvec.p . . . 4  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
182, 7, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17minveclem4a 18810 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
196, 18sseldi 3191 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
205, 19sseldd 3194 1  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   ran crn 4706    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884   2c2 9811   RR+crp 10370   ^cexp 11120   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   distcds 13233   TopOpenctopn 13342   -gcsg 14381   LSubSpclss 15705   filGencfg 17535    fLim cflim 17645   normcnm 18115   CPreHilccph 18618  CMetSpccms 18770
This theorem is referenced by:  minveclem4  18812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-staf 15626  df-srng 15627  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lmhm 15795  df-lvec 15872  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-phl 16546  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-flim 17650  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nlm 18125  df-clm 18577  df-cph 18620  df-cfil 18697  df-cmet 18699  df-cms 18773
  Copyright terms: Public domain W3C validator