MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4c Unicode version

Theorem minveclem4c 19194
Description: Lemma for minvec 19205. The infimum of the distances to  A is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
minveclem4c  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, A    y, J    y, N    ph, y    y, R   
y, U    y, X    y, Y    y, S

Proof of Theorem minveclem4c
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.s . 2  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
2 minvec.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  U
)
3 minvec.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  U )
4 minvec.n . . . . 5  |-  N  =  ( norm `  U
)
5 minvec.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
6 minvec.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
7 minvec.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
8 minvec.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 minvec.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
10 minvec.r . . . . 5  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 19193 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
1211simp1d 969 . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
1311simp2d 970 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
14 0re 9025 . . . 4  |-  0  e.  RR
1511simp3d 971 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
16 breq1 4157 . . . . . 6  |-  ( y  =  0  ->  (
y  <_  w  <->  0  <_  w ) )
1716ralbidv 2670 . . . . 5  |-  ( y  =  0  ->  ( A. w  e.  R  y  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
1817rspcev 2996 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. y  e.  RR  A. w  e.  R  y  <_  w )
1914, 15, 18sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. w  e.  R  y  <_  w )
20 infmrcl 9920 . . 3  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. w  e.  R  y  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2112, 13, 19, 20syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
221, 21syl5eqel 2472 1  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651    C_ wss 3264   (/)c0 3572   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   `'ccnv 4818   ran crn 4820   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   supcsup 7381   RRcr 8923   0cc0 8924    < clt 9054    <_ cle 9055   Basecbs 13397   ↾s cress 13398   TopOpenctopn 13577   -gcsg 14616   LSubSpclss 15936   normcnm 18496   CPreHilccph 19001  CMetSpccms 19155
This theorem is referenced by:  minveclem2  19195  minveclem3b  19197  minveclem4  19201
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-topgen 13595  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-xms 18260  df-ms 18261  df-nm 18502  df-ngp 18503  df-nlm 18506  df-cph 19003
  Copyright terms: Public domain W3C validator