MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem5 Unicode version

Theorem minveclem5 18797
Description: Lemma for minvec 18800. Discharge the assumptions in minveclem4 18796. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, A, y    x, J, y    x, N, y    ph, x, y    x, R, y    x, U, y   
x, X, y    x, Y, y    x, D, y   
x, S, y

Proof of Theorem minveclem5
Dummy variables  r 
s  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . 2  |-  X  =  ( Base `  U
)
2 minvec.m . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
3 minvec.n . 2  |-  N  =  ( norm `  U
)
4 minvec.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
5 minvec.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
6 minvec.w . 2  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
7 minvec.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
8 minvec.j . 2  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
9 minvec.r . 2  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
10 minvec.s . 2  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
11 minvec.d . 2  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
12 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( s  =  r  ->  (
( S ^ 2 )  +  s )  =  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )
1312breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( s  =  r  ->  (
( ( A D z ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  s )  <->  ( ( A D z ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) ) )
1413rabbidv 2780 . . . . 5  |-  ( s  =  r  ->  { z  e.  Y  |  ( ( A D z ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  s ) }  =  { z  e.  Y  |  ( ( A D z ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } )
15 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( A D z )  =  ( A D y ) )
1615oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( A D z ) ^ 2 )  =  ( ( A D y ) ^
2 ) )
1716breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( A D z ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) ) )
1817cbvrabv 2787 . . . . 5  |-  { z  e.  Y  |  ( ( A D z ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) }
1914, 18syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( s  =  r  ->  { z  e.  Y  |  ( ( A D z ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  s ) }  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } )
2019cbvmptv 4111 . . 3  |-  ( s  e.  RR+  |->  { z  e.  Y  |  ( ( A D z ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  s ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
2120rneqi 4905 . 2  |-  ran  (
s  e.  RR+  |->  { z  e.  Y  |  ( ( A D z ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  s ) } )  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )
22 eqid 2283 . 2  |-  U. ( J  fLim  ( X filGen ran  ( s  e.  RR+  |->  { z  e.  Y  |  ( ( A D z ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  s ) } ) ) )  =  U. ( J 
fLim  ( X filGen ran  ( s  e.  RR+  |->  { z  e.  Y  |  ( ( A D z ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  s ) } ) ) )
23 eqid 2283 . 2  |-  ( ( ( ( ( A D U. ( J 
fLim  ( X filGen ran  ( s  e.  RR+  |->  { z  e.  Y  |  ( ( A D z ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  s ) } ) ) ) )  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( A D U. ( J  fLim  ( X filGen ran  ( s  e.  RR+  |->  { z  e.  Y  |  ( ( A D z ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  s ) } ) ) ) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 21, 22, 23minveclem4 18796 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   ^cexp 11104   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   distcds 13217   TopOpenctopn 13326   -gcsg 14365   LSubSpclss 15689   filGencfg 17519    fLim cflim 17629   normcnm 18099   CPreHilccph 18602  CMetSpccms 18754
This theorem is referenced by:  minveclem7  18799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-staf 15610  df-srng 15611  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-phl 16530  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-flim 17634  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nlm 18109  df-clm 18561  df-cph 18604  df-cfil 18681  df-cmet 18683  df-cms 18757
  Copyright terms: Public domain W3C validator