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Theorem minveclem6 18814
Description: Lemma for minvec 18816. Any minimal point is less than  S away from  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, A, y    x, J, y    x, N, y    ph, x, y    x, R, y    x, U, y   
x, X, y    x, Y, y    x, D, y   
x, S, y

Proof of Theorem minveclem6
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
21oveqi 5887 . . . . . . 7  |-  ( A D x )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) x )
3 minvec.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
43adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A  e.  X )
5 minvec.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
6 minvec.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  U
)
7 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
86, 7lssss 15710 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
95, 8syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
109sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
114, 10ovresd 6004 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A ( ( dist `  U )  |`  ( X  X.  X ) ) x )  =  ( A ( dist `  U
) x ) )
122, 11syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A D x )  =  ( A ( dist `  U ) x ) )
13 minvec.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
14 cphngp 18625 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
1513, 14syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
1615adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
17 minvec.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  U
)
18 minvec.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
19 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
2017, 6, 18, 19ngpds 18141 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2116, 4, 10, 20syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A ( dist `  U
) x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2212, 21eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A D x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2322oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( A D x ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A  .-  x ) ) ^
2 ) )
24 minvec.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
25 minvec.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
26 minvec.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
27 minvec.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
286, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27minveclem1 18804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2928adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
3029simp1d 967 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
3129simp2d 968 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  =/=  (/) )
32 0re 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
3332a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  e.  RR )
3429simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
35 breq1 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
3635ralbidv 2576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
3736rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
3833, 34, 37syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
39 infmrcl 9749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4030, 31, 38, 39syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4124, 40syl5eqel 2380 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
4241resqcld 11287 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
4342recnd 8877 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
4443addid1d 9028 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  0 )  =  ( S ^
2 ) )
4523, 44breq12d 4052 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  ( ( N `  ( A  .-  x ) ) ^
2 )  <_  ( S ^ 2 ) ) )
46 cphlmod 18626 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
4713, 46syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
4847adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
496, 18lmodvsubcl 15686 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A  .-  x )  e.  X )
5048, 4, 10, 49syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A  .-  x )  e.  X )
516, 17nmcl 18153 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  x )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  e.  RR )
5216, 50, 51syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  e.  RR )
536, 17nmge0 18154 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  x )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
5416, 50, 53syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
55 infmrgelb 9750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5630, 31, 38, 33, 55syl31anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5734, 56mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
5857, 24syl6breqr 4079 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  S )
5952, 41, 54, 58le2sqd 11296 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  S  <->  ( ( N `  ( A  .-  x ) ) ^
2 )  <_  ( S ^ 2 ) ) )
6024breq2i 4047 . . . 4  |-  ( ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  S  <->  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
61 infmrgelb 9750 . . . . 5  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  ( N `
 ( A  .-  x ) )  e.  RR )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  w ) )
6230, 31, 38, 52, 61syl31anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  w ) )
6360, 62syl5bb 248 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  S  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  w
) )
6445, 59, 633bitr2d 272 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  w
) )
6527raleqi 2753 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w )
66 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
6766rgenw 2623 . . . 4  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y
) )  e.  _V
68 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
69 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( w  =  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
7068, 69ralrnmpt 5685 . . . 4  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
_V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) ( N `
 ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
7167, 70ax-mp 8 . . 3  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
7265, 71bitri 240 . 2  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
7364, 72syl6bb 252 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   ran crn 4706    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884   2c2 9811   ^cexp 11120   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   distcds 13233   TopOpenctopn 13342   -gcsg 14381   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116   CPreHilccph 18618  CMetSpccms 18770
This theorem is referenced by:  minveclem7  18815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-seq 11063  df-exp 11121  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nlm 18125  df-cph 18620
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