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Theorem minveclem6 19335
Description: Lemma for minvec 19337. Any minimal point is less than  S away from  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, A, y    x, J, y    x, N, y    ph, x, y    x, R, y    x, U, y   
x, X, y    x, Y, y    x, D, y   
x, S, y

Proof of Theorem minveclem6
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
21oveqi 6094 . . . . . . 7  |-  ( A D x )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) x )
3 minvec.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
43adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A  e.  X )
5 minvec.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
6 minvec.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  U
)
7 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
86, 7lssss 16013 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
95, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
109sselda 3348 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
114, 10ovresd 6214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A ( ( dist `  U )  |`  ( X  X.  X ) ) x )  =  ( A ( dist `  U
) x ) )
122, 11syl5eq 2480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A D x )  =  ( A ( dist `  U ) x ) )
13 minvec.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
14 cphngp 19136 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
1615adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
17 minvec.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  U
)
18 minvec.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
19 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
2017, 6, 18, 19ngpds 18650 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2116, 4, 10, 20syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A ( dist `  U
) x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2212, 21eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A D x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2322oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( A D x ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A  .-  x ) ) ^
2 ) )
24 minvec.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
25 minvec.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
26 minvec.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
27 minvec.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
286, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27minveclem1 19325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2928adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
3029simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
3129simp2d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  =/=  (/) )
32 0re 9091 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
3332a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  e.  RR )
3429simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
35 breq1 4215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
3635ralbidv 2725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
3736rspcev 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
3833, 34, 37syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
39 infmrcl 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4030, 31, 38, 39syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4124, 40syl5eqel 2520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
4241resqcld 11549 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
4342recnd 9114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
4443addid1d 9266 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  0 )  =  ( S ^
2 ) )
4523, 44breq12d 4225 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  ( ( N `  ( A  .-  x ) ) ^
2 )  <_  ( S ^ 2 ) ) )
46 cphlmod 19137 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
4713, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
4847adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
496, 18lmodvsubcl 15989 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A  .-  x )  e.  X )
5048, 4, 10, 49syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A  .-  x )  e.  X )
516, 17nmcl 18662 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  x )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  e.  RR )
5216, 50, 51syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  e.  RR )
536, 17nmge0 18663 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  x )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
5416, 50, 53syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
55 infmrgelb 9988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5630, 31, 38, 33, 55syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5734, 56mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
5857, 24syl6breqr 4252 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  S )
5952, 41, 54, 58le2sqd 11558 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  S  <->  ( ( N `  ( A  .-  x ) ) ^
2 )  <_  ( S ^ 2 ) ) )
6024breq2i 4220 . . . 4  |-  ( ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  S  <->  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
61 infmrgelb 9988 . . . . 5  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  ( N `
 ( A  .-  x ) )  e.  RR )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  w ) )
6230, 31, 38, 52, 61syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  w ) )
6360, 62syl5bb 249 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  S  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  w
) )
6445, 59, 633bitr2d 273 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  w
) )
6527raleqi 2908 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w )
66 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
6766rgenw 2773 . . . 4  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y
) )  e.  _V
68 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
69 breq2 4216 . . . . 5  |-  ( w  =  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
7068, 69ralrnmpt 5878 . . . 4  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
_V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) ( N `
 ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
7167, 70ax-mp 8 . . 3  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
7265, 71bitri 241 . 2  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
7364, 72syl6bb 253 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   ran crn 4879    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121   2c2 10049   ^cexp 11382   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   distcds 13538   TopOpenctopn 13649   -gcsg 14688   LModclmod 15950   LSubSpclss 16008   normcnm 18624  NrmGrpcngp 18625   CPreHilccph 19129  CMetSpccms 19285
This theorem is referenced by:  minveclem7  19336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-seq 11324  df-exp 11383  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-nlm 18634  df-cph 19131
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