Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem7 Structured version   Unicode version

Theorem minveclem7 19336
 Description: Lemma for minvec 19337. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x
minvec.m
minvec.n
minvec.u
minvec.y
minvec.w s CMetSp
minvec.a
minvec.j
minvec.r
minvec.s
minvec.d
Assertion
Ref Expression
minveclem7
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem minveclem7
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . . 3
2 minvec.m . . 3
3 minvec.n . . 3
4 minvec.u . . 3
5 minvec.y . . 3
6 minvec.w . . 3 s CMetSp
7 minvec.a . . 3
8 minvec.j . . 3
9 minvec.r . . 3
10 minvec.s . . 3
11 minvec.d . . 3
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem5 19334 . 2
134ad2antrr 707 . . . . . 6
145ad2antrr 707 . . . . . 6
156ad2antrr 707 . . . . . 6 s CMetSp
167ad2antrr 707 . . . . . 6
17 0re 9091 . . . . . . 7
1817a1i 11 . . . . . 6
19 0le0 10081 . . . . . . 7
2019a1i 11 . . . . . 6
21 simplrl 737 . . . . . 6
22 simplrr 738 . . . . . 6
23 simprl 733 . . . . . 6
24 simprr 734 . . . . . 6
251, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 8, 9, 10, 11, 18, 20, 21, 22, 23, 24minveclem2 19327 . . . . 5
2625ex 424 . . . 4
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem6 19335 . . . . . 6
2827adantrr 698 . . . . 5
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem6 19335 . . . . . 6
3029adantrl 697 . . . . 5
3128, 30anbi12d 692 . . . 4
32 4cn 10074 . . . . . . 7
3332mul01i 9256 . . . . . 6
3433breq2i 4220 . . . . 5
35 cphngp 19136 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
36 ngpms 18647 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
374, 35, 363syl 19 . . . . . . . . . . 11
3837adantr 452 . . . . . . . . . 10
391, 11msmet 18487 . . . . . . . . . 10
4038, 39syl 16 . . . . . . . . 9
41 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
421, 41lssss 16013 . . . . . . . . . . . 12
435, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11
4443adantr 452 . . . . . . . . . 10
45 simprl 733 . . . . . . . . . 10
4644, 45sseldd 3349 . . . . . . . . 9
47 simprr 734 . . . . . . . . . 10
4844, 47sseldd 3349 . . . . . . . . 9
49 metcl 18362 . . . . . . . . 9
5040, 46, 48, 49syl3anc 1184 . . . . . . . 8
5150sqge0d 11550 . . . . . . 7
5251biantrud 494 . . . . . 6
5350resqcld 11549 . . . . . . 7
54 letri3 9160 . . . . . . 7
5553, 17, 54sylancl 644 . . . . . 6
5650recnd 9114 . . . . . . . 8
57 sqeq0 11446 . . . . . . . 8
5856, 57syl 16 . . . . . . 7
59 meteq0 18369 . . . . . . . 8
6040, 46, 48, 59syl3anc 1184 . . . . . . 7
6158, 60bitrd 245 . . . . . 6
6252, 55, 613bitr2d 273 . . . . 5
6334, 62syl5bb 249 . . . 4
6426, 31, 633imtr3d 259 . . 3
6564ralrimivva 2798 . 2
66 oveq2 6089 . . . . . 6
6766fveq2d 5732 . . . . 5
6867breq1d 4222 . . . 4
6968ralbidv 2725 . . 3
7069reu4 3128 . 2
7112, 65, 70sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  wreu 2707   wss 3320   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cxp 4876  ccnv 4877   crn 4879   cres 4880  cfv 5454  (class class class)co 6081  csup 7445  cc 8988  cr 8989  cc0 8990   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cle 9121  c2 10049  c4 10051  cexp 11382  cbs 13469   ↾s cress 13470  cds 13538  ctopn 13649  csg 14688  clss 16008  cme 16687  cmt 18348  cnm 18624  NrmGrpcngp 18625  ccph 19129  CMetSpccms 19285 This theorem is referenced by:  minvec  19337 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-staf 15933  df-srng 15934  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lmhm 16098  df-lvec 16175  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-phl 16857  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-haus 17379  df-fil 17878  df-flim 17971  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-nlm 18634  df-clm 19088  df-cph 19131  df-cfil 19208  df-cmet 19210  df-cms 19288
 Copyright terms: Public domain W3C validator