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Theorem minvecolem2 22369
Description: Lemma for minveco 22378. Any two points  K and 
L in  Y are close to each other if they are close to the infimum of distance to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvecolem2.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
minvecolem2.2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
minvecolem2.3  |-  ( ph  ->  K  e.  Y )
minvecolem2.4  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
minvecolem2.5  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
minvecolem2.6  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem2  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  B ) )
Distinct variable groups:    y, J    y, K    y, L    y, M    y, N    ph, y    y, S    y, A    y, D    y, U    y, W    y, Y
Allowed substitution hints:    B( y)    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem2
Dummy variables  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10065 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
2 minveco.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
3 minveco.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 minveco.m . . . . . . . . . . 11  |-  M  =  ( -v `  U
)
5 minveco.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( normCV `  U )
6 minveco.y . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
7 minveco.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
9 minveco.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
10 minveco.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( IndMet `  U )
11 minveco.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
12 minveco.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12minvecolem1 22368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
1413simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
1513simp2d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
16 0re 9083 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
1713simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
18 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
1918ralbidv 2717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2019rspcev 3044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
2116, 17, 20sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
22 infmrcl 9979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2314, 15, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
242, 23syl5eqel 2519 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
2524resqcld 11541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
26 remulcl 9067 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( S ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
271, 25, 26sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
28 phnv 22307 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
297, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
303, 10imsmet 22175 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
32 inss1 3553 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
3332, 8sseldi 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
34 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
353, 6, 34sspba 22218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
3629, 33, 35syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
37 minvecolem2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Y )
3836, 37sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  X )
39 minvecolem2.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
4036, 39sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  X )
41 metcl 18354 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K D L )  e.  RR )
4231, 38, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K D L )  e.  RR )
4342resqcld 11541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  e.  RR )
4427, 43readdcld 9107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
45 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
46 halfcl 10185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
4745, 46mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
48 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
49 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
506, 48, 49, 34sspgval 22220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U ) )  /\  ( K  e.  Y  /\  L  e.  Y
) )  ->  ( K ( +v `  W ) L )  =  ( K ( +v `  U ) L ) )
5129, 33, 37, 39, 50syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K ( +v
`  W ) L )  =  ( K ( +v `  U
) L ) )
5234sspnv 22217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  W  e.  NrmCVec )
5329, 33, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W  e.  NrmCVec )
546, 49nvgcl 22091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  K  e.  Y  /\  L  e.  Y )  ->  ( K ( +v `  W ) L )  e.  Y )
5553, 37, 39, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K ( +v
`  W ) L )  e.  Y )
5651, 55eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K ( +v
`  U ) L )  e.  Y )
57 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
58 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
596, 57, 58, 34sspsval 22222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U ) )  /\  ( ( 1  / 
2 )  e.  CC  /\  ( K ( +v
`  U ) L )  e.  Y ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ( .s OLD `  W
) ( K ( +v `  U ) L ) )  =  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) )
6029, 33, 47, 56, 59syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  W )
( K ( +v
`  U ) L ) )  =  ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) )
616, 58nvscl 22099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  2 )  e.  CC  /\  ( K ( +v `  U ) L )  e.  Y )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  W )
( K ( +v
`  U ) L ) )  e.  Y
)
6253, 47, 56, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  W )
( K ( +v
`  U ) L ) )  e.  Y
)
6360, 62eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  e.  Y
)
6436, 63sseldd 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  e.  X
)
653, 4nvmcl 22120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) )  e.  X )  -> 
( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) )  e.  X )
6629, 9, 64, 65syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) )  e.  X )
673, 5nvcl 22140 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) )  e.  X )  -> 
( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  RR )
6829, 66, 67syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  RR )
6968resqcld 11541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
70 remulcl 9067 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( 4  x.  (
( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
711, 69, 70sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
7271, 43readdcld 9107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
73 minvecolem2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7425, 73readdcld 9107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )
75 remulcl 9067 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  e.  RR )
761, 74, 75sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )
7716a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
78 infmrgelb 9980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
7914, 15, 21, 77, 78syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8017, 79mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
8180, 2syl6breqr 4244 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
82 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )
83 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) )  -> 
( A M y )  =  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )
8483fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) )  -> 
( N `  ( A M y ) )  =  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )
8584eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) )  -> 
( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `
 ( A M y ) )  <->  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ) )
8685rspcev 3044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  e.  Y  /\  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
8763, 82, 86sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `
 ( A M y ) ) )
88 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
89 fvex 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
9088, 89elrnmpti 5113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  ran  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  <->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `
 ( A M y ) ) )
9187, 90sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  ran  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) )
9291, 12syl6eleqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  R )
93 infmrlb 9981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w  /\  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  R )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )
9414, 21, 92, 93syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )
952, 94syl5eqbr 4237 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) ) ) )
96 le2sq2 11449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  /\  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  RR  /\  S  <_  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ) )  -> 
( S ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
9724, 81, 68, 95, 96syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
98 4pos 10078 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
991, 98pm3.2i 442 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
100 lemul2 9855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10199, 100mp3an3 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( ( S ^
2 )  <_  (
( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10225, 69, 101syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  <_  (
( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10397, 102mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
10427, 71, 43, 103leadd1dd 9632 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) ) )
105 metcl 18354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A D K )  e.  RR )
10631, 9, 38, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D K )  e.  RR )
107106resqcld 11541 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  e.  RR )
108 metcl 18354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A D L )  e.  RR )
10931, 9, 40, 108syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D L )  e.  RR )
110109resqcld 11541 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  e.  RR )
111 minvecolem2.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
112 minvecolem2.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
113107, 110, 74, 74, 111, 112le2addd 9636 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
( S ^ 2 )  +  B )  +  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
11474recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  CC )
1151142timesd 10202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  +  B )  +  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
116113, 115breqtrrd 4230 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
117107, 110readdcld 9107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
118 2re 10061 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
119 remulcl 9067 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  e.  RR )
120118, 74, 119sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )
121 2pos 10074 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
122118, 121pm3.2i 442 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
123 lemul2 9855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  <->  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_ 
( 2  x.  (
2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) ) ) )
124122, 123mp3an3 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^
2 ) )  <_ 
( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  <->  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  (
2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) ) ) )
125117, 120, 124syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  (
2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )  <-> 
( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) ) )
126116, 125mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
1273, 4nvmcl 22120 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A M K )  e.  X )
12829, 9, 38, 127syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A M K )  e.  X )
1293, 4nvmcl 22120 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A M L )  e.  X )
13029, 9, 40, 129syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A M L )  e.  X )
1313, 48, 4, 5phpar2 22316 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A M K )  e.  X  /\  ( A M L )  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( ( A M K ) ( +v
`  U ) ( A M L ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A M K ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  ( A M L ) ) ^ 2 ) ) ) )
1327, 128, 130, 131syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( ( A M K ) ( +v `  U ) ( A M L ) ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A M K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A M L ) ) ^ 2 ) ) ) )
133 2cn 10062 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
13468recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  CC )
135 sqmul 11437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
136133, 134, 135sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
137 sq2 11469 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
138137oveq1i 6083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
139136, 138syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
140133a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
1413, 57, 5nvs 22143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  2  e.  CC  /\  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) )  e.  X )  -> 
( N `  (
2 ( .s OLD `  U ) ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  2
)  x.  ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ) )
14229, 140, 66, 141syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s OLD `  U ) ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  2
)  x.  ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ) )
14316, 118, 121ltleii 9188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  2
144 absid 12093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
145118, 143, 144mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  2 )  =  2
146145oveq1i 6083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) )
147142, 146syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s OLD `  U ) ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ) )
1483, 4, 57nvmdi 22123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
2  e.  CC  /\  A  e.  X  /\  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  e.  X
) )  ->  (
2 ( .s OLD `  U ) ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  =  ( ( 2 ( .s OLD `  U ) A ) M ( 2 ( .s OLD `  U
) ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )
14929, 140, 9, 64, 148syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2 ( .s
OLD `  U )
( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) ) )  =  ( ( 2 ( .s
OLD `  U ) A ) M ( 2 ( .s OLD `  U ) ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )
1503, 48, 57nv2 22105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) A )  =  ( 2 ( .s OLD `  U
) A ) )
15129, 9, 150syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ( +v
`  U ) A )  =  ( 2 ( .s OLD `  U
) A ) )
152 2ne0 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
153133, 152recidi 9737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
154153oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) )  =  ( 1 ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )
1553, 48nvgcl 22091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K ( +v `  U ) L )  e.  X )
15629, 38, 40, 155syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( K ( +v
`  U ) L )  e.  X )
1573, 57nvsid 22100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( K ( +v `  U ) L )  e.  X )  -> 
( 1 ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  =  ( K ( +v `  U ) L ) )
15829, 156, 157syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1 ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  =  ( K ( +v `  U ) L ) )
159154, 158syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  =  ( K ( +v `  U ) L ) )
1603, 57nvsass 22101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( K ( +v `  U ) L )  e.  X ) )  ->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) )  =  ( 2 ( .s
OLD `  U )
( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) )
16129, 140, 47, 156, 160syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  =  ( 2 ( .s OLD `  U ) ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )
162159, 161eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K ( +v
`  U ) L )  =  ( 2 ( .s OLD `  U
) ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )
163151, 162oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +v `  U ) A ) M ( K ( +v `  U ) L ) )  =  ( ( 2 ( .s OLD `  U ) A ) M ( 2 ( .s OLD `  U
) ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )
1643, 48, 4nvaddsub4 22134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  A  e.  X )  /\  ( K  e.  X  /\  L  e.  X
) )  ->  (
( A ( +v
`  U ) A ) M ( K ( +v `  U
) L ) )  =  ( ( A M K ) ( +v `  U ) ( A M L ) ) )
16529, 9, 9, 38, 40, 164syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +v `  U ) A ) M ( K ( +v `  U ) L ) )  =  ( ( A M K ) ( +v `  U
) ( A M L ) ) )
166149, 163, 1653eqtr2d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ( .s
OLD `  U )
( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) ) )  =  ( ( A M K ) ( +v `  U ) ( A M L ) ) )
167166fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s OLD `  U ) ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( N `  ( ( A M K ) ( +v `  U
) ( A M L ) ) ) )
168147, 167eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( N `  ( ( A M K ) ( +v `  U
) ( A M L ) ) ) )
169168oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A M K ) ( +v `  U
) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )
170139, 169eqtr3d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `  ( ( A M K ) ( +v `  U
) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )
1713, 4, 5, 10imsdval 22170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  L  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( L D K )  =  ( N `  ( L M K ) ) )
17229, 40, 38, 171syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L D K )  =  ( N `
 ( L M K ) ) )
173 metsym 18372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K D L )  =  ( L D K ) )
17431, 38, 40, 173syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K D L )  =  ( L D K ) )
1753, 4nvnnncan1 22121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )
)  ->  ( ( A M K ) M ( A M L ) )  =  ( L M K ) )
17629, 9, 38, 40, 175syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A M K ) M ( A M L ) )  =  ( L M K ) )
177176fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( A M K ) M ( A M L ) ) )  =  ( N `
 ( L M K ) ) )
178172, 174, 1773eqtr4d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K D L )  =  ( N `
 ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) )
179178oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )
180170, 179oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A M K ) ( +v `  U
) ( A M L ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) ) )
1813, 4, 5, 10imsdval 22170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A D K )  =  ( N `  ( A M K ) ) )
18229, 9, 38, 181syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D K )  =  ( N `
 ( A M K ) ) )
183182oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A M K ) ) ^ 2 ) )
1843, 4, 5, 10imsdval 22170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A D L )  =  ( N `  ( A M L ) ) )
18529, 9, 40, 184syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D L )  =  ( N `
 ( A M L ) ) )
186185oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A M L ) ) ^ 2 ) )
187183, 186oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A M K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A M L ) ) ^ 2 ) ) )
188187oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A M K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A M L ) ) ^ 2 ) ) ) )
189132, 180, 1883eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) )
190 2t2e4 10119 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
191190oveq1i 6083 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )
192140, 140, 114mulassd 9103 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
193191, 192syl5eqr 2481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
194126, 189, 1933brtr4d 4234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) )
19544, 72, 76, 104, 194letrd 9219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
196 4cn 10066 . . . . 5  |-  4  e.  CC
197196a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
19825recnd 9106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
19973recnd 9106 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
200197, 198, 199adddid 9104 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) )
201195, 200breqtrd 4228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) )
202 remulcl 9067 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 4  x.  B
)  e.  RR )
2031, 73, 202sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  B
)  e.  RR )
20443, 203, 27leadd2d 9613 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K D L ) ^
2 )  <_  (
4  x.  B )  <-> 
( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) ) )
205201, 204mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   2c2 10041   4c4 10043   ^cexp 11374   abscabs 12031   Metcme 16679   MetOpencmopn 16683   NrmCVeccnv 22055   +vcpv 22056   BaseSetcba 22057   .s
OLDcns 22058   -vcnsb 22060   normCVcnmcv 22061   IndMetcims 22062   SubSpcss 22212   CPreHil OLDccphlo 22305   CBanccbn 22356
This theorem is referenced by:  minvecolem3  22370  minvecolem7  22377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-xmet 16687  df-met 16688  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ims 22072  df-ssp 22213  df-ph 22306  df-cbn 22357
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