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Theorem minvecolem2 21454
Description: Lemma for minveco 21463. Any two points  K and 
L in  Y are close to each other if they are close to the infimum of distance to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvecolem2.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
minvecolem2.2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
minvecolem2.3  |-  ( ph  ->  K  e.  Y )
minvecolem2.4  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
minvecolem2.5  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
minvecolem2.6  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem2  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  B ) )
Distinct variable groups:    y, J    y, K    y, L    y, M    y, N    ph, y    y, S    y, A    y, D    y, U    y, W    y, Y
Allowed substitution hints:    B( y)    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem2
Dummy variables  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 9819 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
2 minveco.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
3 minveco.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 minveco.m . . . . . . . . . . 11  |-  M  =  ( -v `  U
)
5 minveco.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( normCV `  U )
6 minveco.y . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
7 minveco.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
9 minveco.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
10 minveco.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( IndMet `  U )
11 minveco.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
12 minveco.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12minvecolem1 21453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
1413simp1d 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
1513simp2d 968 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
16 0re 8838 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
1713simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
18 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
1918ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2019rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
2116, 17, 20sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
22 infmrcl 9733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2314, 15, 21, 22syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
242, 23syl5eqel 2367 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
2524resqcld 11271 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
26 remulcl 8822 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( S ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
271, 25, 26sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
28 phnv 21392 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
297, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
303, 10imsmet 21260 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
32 inss1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
3332, 8sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
34 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
353, 6, 34sspba 21303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
3629, 33, 35syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
37 minvecolem2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Y )
3836, 37sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  X )
39 minvecolem2.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
4036, 39sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  X )
41 metcl 17897 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K D L )  e.  RR )
4231, 38, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K D L )  e.  RR )
4342resqcld 11271 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  e.  RR )
4427, 43readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
45 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
46 halfcl 9937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
4745, 46mp1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
48 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
49 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
506, 48, 49, 34sspgval 21305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U ) )  /\  ( K  e.  Y  /\  L  e.  Y
) )  ->  ( K ( +v `  W ) L )  =  ( K ( +v `  U ) L ) )
5129, 33, 37, 39, 50syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K ( +v
`  W ) L )  =  ( K ( +v `  U
) L ) )
5234sspnv 21302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  W  e.  NrmCVec )
5329, 33, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W  e.  NrmCVec )
546, 49nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  K  e.  Y  /\  L  e.  Y )  ->  ( K ( +v `  W ) L )  e.  Y )
5553, 37, 39, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K ( +v
`  W ) L )  e.  Y )
5651, 55eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K ( +v
`  U ) L )  e.  Y )
57 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
58 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
596, 57, 58, 34sspsval 21307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U ) )  /\  ( ( 1  / 
2 )  e.  CC  /\  ( K ( +v
`  U ) L )  e.  Y ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ( .s OLD `  W
) ( K ( +v `  U ) L ) )  =  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) )
6029, 33, 47, 56, 59syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  W )
( K ( +v
`  U ) L ) )  =  ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) )
616, 58nvscl 21184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  2 )  e.  CC  /\  ( K ( +v `  U ) L )  e.  Y )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  W )
( K ( +v
`  U ) L ) )  e.  Y
)
6253, 47, 56, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  W )
( K ( +v
`  U ) L ) )  e.  Y
)
6360, 62eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  e.  Y
)
6436, 63sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  e.  X
)
653, 4nvmcl 21205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) )  e.  X )  -> 
( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) )  e.  X )
6629, 9, 64, 65syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) )  e.  X )
673, 5nvcl 21225 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) )  e.  X )  -> 
( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  RR )
6829, 66, 67syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  RR )
6968resqcld 11271 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
70 remulcl 8822 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( 4  x.  (
( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
711, 69, 70sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
7271, 43readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
73 minvecolem2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7425, 73readdcld 8862 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )
75 remulcl 8822 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  e.  RR )
761, 74, 75sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )
7716a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
78 infmrgelb 9734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
7914, 15, 21, 77, 78syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8017, 79mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
8180, 2syl6breqr 4063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
82 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )
83 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) )  -> 
( A M y )  =  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )
8483fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) )  -> 
( N `  ( A M y ) )  =  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )
8584eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) )  -> 
( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `
 ( A M y ) )  <->  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ) )
8685rspcev 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  e.  Y  /\  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
8763, 82, 86sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `
 ( A M y ) ) )
88 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
89 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
9088, 89elrnmpti 4930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  ran  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  <->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `
 ( A M y ) ) )
9187, 90sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  ran  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) )
9291, 12syl6eleqr 2374 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  R )
93 infmrlb 9735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w  /\  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  R )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )
9414, 21, 92, 93syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )
952, 94syl5eqbr 4056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) ) ) )
96 le2sq2 11179 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  /\  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  RR  /\  S  <_  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ) )  -> 
( S ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
9724, 81, 68, 95, 96syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
98 4pos 9832 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
991, 98pm3.2i 441 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
100 lemul2 9609 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10199, 100mp3an3 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( ( S ^
2 )  <_  (
( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10225, 69, 101syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  <_  (
( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10397, 102mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
10427, 71, 43, 103leadd1dd 9386 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) ) )
105 metcl 17897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A D K )  e.  RR )
10631, 9, 38, 105syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D K )  e.  RR )
107106resqcld 11271 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  e.  RR )
108 metcl 17897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A D L )  e.  RR )
10931, 9, 40, 108syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D L )  e.  RR )
110109resqcld 11271 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  e.  RR )
111 minvecolem2.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
112 minvecolem2.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
113107, 110, 74, 74, 111, 112le2addd 9390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
( S ^ 2 )  +  B )  +  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
11474recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  CC )
1151142timesd 9954 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  +  B )  +  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
116113, 115breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
117107, 110readdcld 8862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
118 2re 9815 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
119 remulcl 8822 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  e.  RR )
120118, 74, 119sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )
121 2pos 9828 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
122118, 121pm3.2i 441 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
123 lemul2 9609 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  <->  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_ 
( 2  x.  (
2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) ) ) )
124122, 123mp3an3 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^
2 ) )  <_ 
( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  <->  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  (
2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) ) ) )
125117, 120, 124syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  (
2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )  <-> 
( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) ) )
126116, 125mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
1273, 4nvmcl 21205 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A M K )  e.  X )
12829, 9, 38, 127syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A M K )  e.  X )
1293, 4nvmcl 21205 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A M L )  e.  X )
13029, 9, 40, 129syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A M L )  e.  X )
1313, 48, 4, 5phpar2 21401 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A M K )  e.  X  /\  ( A M L )  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( ( A M K ) ( +v
`  U ) ( A M L ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A M K ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  ( A M L ) ) ^ 2 ) ) ) )
1327, 128, 130, 131syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( ( A M K ) ( +v `  U ) ( A M L ) ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A M K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A M L ) ) ^ 2 ) ) ) )
133 2cn 9816 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
13468recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  CC )
135 sqmul 11167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
136133, 134, 135sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
137 sq2 11199 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
138137oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
139136, 138syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
140133a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
1413, 57, 5nvs 21228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  2  e.  CC  /\  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) )  e.  X )  -> 
( N `  (
2 ( .s OLD `  U ) ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  2
)  x.  ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ) )
14229, 140, 66, 141syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s OLD `  U ) ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  2
)  x.  ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ) )
14316, 118, 121ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  2
144 absid 11781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
145118, 143, 144mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  2 )  =  2
146145oveq1i 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) )
147142, 146syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s OLD `  U ) ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( N `
 ( A M ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) ) ) )
1483, 4, 57nvmdi 21208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
2  e.  CC  /\  A  e.  X  /\  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  e.  X
) )  ->  (
2 ( .s OLD `  U ) ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )  =  ( ( 2 ( .s OLD `  U ) A ) M ( 2 ( .s OLD `  U
) ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )
14929, 140, 9, 64, 148syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2 ( .s
OLD `  U )
( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) ) )  =  ( ( 2 ( .s
OLD `  U ) A ) M ( 2 ( .s OLD `  U ) ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )
1503, 48, 57nv2 21190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) A )  =  ( 2 ( .s OLD `  U
) A ) )
15129, 9, 150syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ( +v
`  U ) A )  =  ( 2 ( .s OLD `  U
) A ) )
152 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
153133, 152recidi 9491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
154153oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) )  =  ( 1 ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )
1553, 48nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K ( +v `  U ) L )  e.  X )
15629, 38, 40, 155syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( K ( +v
`  U ) L )  e.  X )
1573, 57nvsid 21185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( K ( +v `  U ) L )  e.  X )  -> 
( 1 ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  =  ( K ( +v `  U ) L ) )
15829, 156, 157syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1 ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  =  ( K ( +v `  U ) L ) )
159154, 158syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  =  ( K ( +v `  U ) L ) )
1603, 57nvsass 21186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( K ( +v `  U ) L )  e.  X ) )  ->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) )  =  ( 2 ( .s
OLD `  U )
( ( 1  / 
2 ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) ) ) )
16129, 140, 47, 156, 160syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ( .s
OLD `  U )
( K ( +v
`  U ) L ) )  =  ( 2 ( .s OLD `  U ) ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )
162159, 161eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K ( +v
`  U ) L )  =  ( 2 ( .s OLD `  U
) ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) )
163151, 162oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +v `  U ) A ) M ( K ( +v `  U ) L ) )  =  ( ( 2 ( .s OLD `  U ) A ) M ( 2 ( .s OLD `  U
) ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )
1643, 48, 4nvaddsub4 21219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  A  e.  X )  /\  ( K  e.  X  /\  L  e.  X
) )  ->  (
( A ( +v
`  U ) A ) M ( K ( +v `  U
) L ) )  =  ( ( A M K ) ( +v `  U ) ( A M L ) ) )
16529, 9, 9, 38, 40, 164syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +v `  U ) A ) M ( K ( +v `  U ) L ) )  =  ( ( A M K ) ( +v `  U
) ( A M L ) ) )
166149, 163, 1653eqtr2d 2321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ( .s
OLD `  U )
( A M ( ( 1  /  2
) ( .s OLD `  U ) ( K ( +v `  U
) L ) ) ) )  =  ( ( A M K ) ( +v `  U ) ( A M L ) ) )
167166fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s OLD `  U ) ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( N `  ( ( A M K ) ( +v `  U
) ( A M L ) ) ) )
168147, 167eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( N `  ( ( A M K ) ( +v `  U
) ( A M L ) ) ) )
169168oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A M K ) ( +v `  U
) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )
170139, 169eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `  ( ( A M K ) ( +v `  U
) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )
1713, 4, 5, 10imsdval 21255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  L  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( L D K )  =  ( N `  ( L M K ) ) )
17229, 40, 38, 171syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L D K )  =  ( N `
 ( L M K ) ) )
173 metsym 17914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K D L )  =  ( L D K ) )
17431, 38, 40, 173syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K D L )  =  ( L D K ) )
1753, 4nvnnncan1 21206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )
)  ->  ( ( A M K ) M ( A M L ) )  =  ( L M K ) )
17629, 9, 38, 40, 175syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A M K ) M ( A M L ) )  =  ( L M K ) )
177176fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( A M K ) M ( A M L ) ) )  =  ( N `
 ( L M K ) ) )
178172, 174, 1773eqtr4d 2325 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K D L )  =  ( N `
 ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) )
179178oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )
180170, 179oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A M K ) ( +v `  U
) ( A M L ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) ) )
1813, 4, 5, 10imsdval 21255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A D K )  =  ( N `  ( A M K ) ) )
18229, 9, 38, 181syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D K )  =  ( N `
 ( A M K ) ) )
183182oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A M K ) ) ^ 2 ) )
1843, 4, 5, 10imsdval 21255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A D L )  =  ( N `  ( A M L ) ) )
18529, 9, 40, 184syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D L )  =  ( N `
 ( A M L ) ) )
186185oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A M L ) ) ^ 2 ) )
187183, 186oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A M K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A M L ) ) ^ 2 ) ) )
188187oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A M K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A M L ) ) ^ 2 ) ) ) )
189132, 180, 1883eqtr4d 2325 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) )
190 2t2e4 9871 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
191190oveq1i 5868 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )
192140, 140, 114mulassd 8858 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
193191, 192syl5eqr 2329 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
194126, 189, 1933brtr4d 4053 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A M ( ( 1  /  2 ) ( .s OLD `  U
) ( K ( +v `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) )
19544, 72, 76, 104, 194letrd 8973 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
196 4cn 9820 . . . . 5  |-  4  e.  CC
197196a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
19825recnd 8861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
19973recnd 8861 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
200197, 198, 199adddid 8859 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) )
201195, 200breqtrd 4047 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) )
202 remulcl 8822 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 4  x.  B
)  e.  RR )
2031, 73, 202sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  B
)  e.  RR )
20443, 203, 27leadd2d 9367 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K D L ) ^
2 )  <_  (
4  x.  B )  <-> 
( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) ) )
205201, 204mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   4c4 9797   ^cexp 11104   abscabs 11719   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143   -vcnsb 21145   normCVcnmcv 21146   IndMetcims 21147   SubSpcss 21297   CPreHil OLDccphlo 21390   CBanccbn 21441
This theorem is referenced by:  minvecolem3  21455  minvecolem7  21462
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-xmet 16373  df-met 16374  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442
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