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Theorem minvecolem4 21459
Description: Lemma for minveco 21463. The convergent point of the cauchy sequence  F attains the minimum distance, and so is closer to  A than any other point in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
minveco.t  |-  T  =  ( 1  /  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, F    n, J, x, y    x, M, y   
x, N, y    ph, n, x, y    x, R    S, n, x, y    A, n, x, y    D, n, x, y    x, U, y    x, W, y    T, n    n, X, x   
n, Y, x, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    T( x, y)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem4
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 21392 . . . . . 6  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
3 minveco.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 minveco.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( IndMet `  U )
53, 4imsxmet 21261 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
61, 2, 53syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
7 minveco.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
87methaus 18066 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
9 lmfun 17109 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
106, 8, 93syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( ~~> t `  J ) )
11 minveco.m . . . . . 6  |-  M  =  ( -v `  U
)
12 minveco.n . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  U )
13 minveco.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
14 minveco.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
15 minveco.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
16 minveco.r . . . . . 6  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
17 minveco.s . . . . . 6  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
18 minveco.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
19 minveco.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
203, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4a 21456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
21 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
22 nnuz 10263 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
23 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
2413, 23eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  Y  e. 
_V
2524a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
261, 2syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
277mopntop 17986 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
2826, 5, 273syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
29 elin 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
3014, 29sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
3130simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
333, 13, 32sspba 21303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
3426, 31, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
35 xmetres2 17925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
366, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y ) )
37 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3837mopntopon 17985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y
)  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  e.  (TopOn `  Y ) )
3936, 38syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )
)
40 lmcl 17025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )  /\  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
4139, 20, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
42 1z 10053 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
4342a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4421, 22, 25, 28, 41, 43, 18lmss 17026 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
45 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
4645, 7, 37metrest 18070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
476, 34, 46syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
4847fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ~~> t `  ( Jt  Y ) )  =  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
4948breqd 4034 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
5044, 49bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
5120, 50mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
52 funbrfv 5561 . . . 4  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  ->  ( F
( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  -> 
( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) ) )
5310, 51, 52sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
5453, 41eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  Y )
553, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4b 21457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  X )
563, 11, 12, 4imsdval 21255 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  F )  e.  X )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  =  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) ) )
5726, 15, 55, 56syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  =  ( N `
 ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) ) )
5857adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  =  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) ) )
593, 4imsmet 21260 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
601, 2, 593syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
61 metcl 17897 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  F )  e.  X )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  e.  RR )
6260, 15, 55, 61syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  e.  RR )
6362adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  e.  RR )
643, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4c 21458 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
6564adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
6626adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
6715adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
6834sselda 3180 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
693, 11nvmcl 21205 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A M y )  e.  X )
7066, 67, 68, 69syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A M y )  e.  X )
713, 12nvcl 21225 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
7266, 70, 71syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
7364, 62ltnled 8966 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <->  -.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
) )
74 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  T )  +  1 ) )
756adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
76 minveco.t . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ( 1  /  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
7762, 64readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR )
7877rehalfcld 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 )  e.  RR )
7978resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  e.  RR )
8064resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
8179, 80resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
8281adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
8364, 62, 64ltadd1d 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <->  ( S  +  S )  <  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S ) ) )
8464recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
85842timesd 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( S  +  S ) )
8685breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  <-> 
( S  +  S
)  <  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) ) )
87 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
88 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  2
8987, 88pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
9089a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
91 ltmuldiv2 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  S )  <  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  <->  S  <  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ) )
9264, 77, 90, 91syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  <-> 
S  <  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ) )
9383, 86, 923bitr2d 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <->  S  <  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ) )
943, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16minvecolem1 21453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9594simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
9694simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
9794simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
98 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  RR
99 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
10099ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
101100rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
10298, 95, 101sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
10398a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
104 infmrgelb 9734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
10596, 97, 102, 103, 104syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
10695, 105mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
107106, 17syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
108 metge0 17910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  F )  e.  X )  ->  0  <_  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )
10960, 15, 55, 108syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )
11062, 64, 109, 107addge0d 9348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) )
111 divge0 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) )  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  0  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )
11277, 110, 90, 111syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) )
11364, 78, 107, 112lt2sqd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  <  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 )  <-> 
( S ^ 2 )  <  ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
11480, 79posdifd 9359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  <  (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
11593, 113, 1143bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
116115biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  0  <  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
11782, 116elrpd 10388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR+ )
118117rpreccld 10400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  e.  RR+ )
11976, 118syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  T  e.  RR+ )
120119rprege0d 10397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T ) )
121 flge0nn0 10948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  RR  /\  0  <_  T )  -> 
( |_ `  T
)  e.  NN0 )
122 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  T )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  T )  +  1 )  e.  NN )
123120, 121, 1223syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( ( |_ `  T )  +  1 )  e.  NN )
124123nnzd 10116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( ( |_ `  T )  +  1 )  e.  ZZ )
12551, 53breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )
126125adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  F ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  F
) )
12715adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  A  e.  X )
12878adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 )  e.  RR )
129128rexrd 8881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 )  e. 
RR* )
130 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ph )
13122uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( |_ `  T )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
132123, 131sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
13360adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
13415adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  X )
135 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  Y  C_  X )  ->  F : NN --> X )
13618, 34, 135syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
137 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> X  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  X )
138136, 137sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  X )
139 metcl 17897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  ( A D ( F `  n ) )  e.  RR )
140133, 134, 138, 139syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A D ( F `  n ) )  e.  RR )
141130, 132, 140syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( A D ( F `  n
) )  e.  RR )
142141resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  e.  RR )
14364ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  S  e.  RR )
144143resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( S ^
2 )  e.  RR )
145132nnrecred 9791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
146144, 145readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
14779ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ^
2 )  e.  RR )
148130, 132, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
149119adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  T  e.  RR+ )
150149rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  T  e.  RR )
151 reflcl 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  RR  ->  ( |_ `  T )  e.  RR )
152 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( |_ `  T )  e.  RR  ->  (
( |_ `  T
)  +  1 )  e.  RR )
153150, 151, 1523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  T )  +  1 )  e.  RR )
154132nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  RR )
155 fllep1 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  RR  ->  T  <_  ( ( |_ `  T )  +  1 ) )
156150, 155syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  T  <_  (
( |_ `  T
)  +  1 ) )
157 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  T
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  T )  +  1 )  <_  n
)
158157adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  T )  +  1 )  <_  n
)
159150, 153, 154, 156, 158letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  T  <_  n
)
16076, 159syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  <_  n )
161 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
162161a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
16381ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
164116adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
165132nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  0  <  n
)
166 lediv23 9648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  <_  n  <->  ( 1  /  n )  <_  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
167162, 163, 164, 154, 165, 166syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  <_  n  <->  ( 1  /  n )  <_  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
168160, 167mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  <_  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
169144, 145, 147leaddsub2d 9374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_ 
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  <->  ( 1  /  n )  <_  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
170168, 169mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) )
171142, 146, 147, 148, 170letrd 8973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) )
17278ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 )  e.  RR )
173 metge0 17910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  0  <_  ( A D ( F `  n ) ) )
174133, 134, 138, 173syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( A D ( F `  n ) ) )
175130, 132, 174syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( A D ( F `  n ) ) )
176112ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )
177141, 172, 175, 176le2sqd 11280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) )  <_ 
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 )  <-> 
( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
178171, 177mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( A D ( F `  n
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )
17974, 7, 75, 124, 126, 127, 129, 178lmle 18727 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )
18062, 64, 62leadd2d 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S  <->  ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) ) )
18162recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  e.  CC )
1821812timesd 9954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  =  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) ) )
183182breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  <_  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  <-> 
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  <_  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) ) )
184 lemuldiv2 9636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  e.  RR  /\  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  <->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ) )
18589, 184mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  e.  RR  /\  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  <->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ) )
18662, 77, 185syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  <_  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  <-> 
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  <_  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ) )
187180, 183, 1863bitr2d 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S  <->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  <_  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ) )
188187biimpar 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
)
189179, 188syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
)
190189ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
) )
19173, 190sylbird 226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  <_  S )
)
192191pm2.18d 103 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  <_  S )
193192adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
)
19496adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
195102adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
196 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
197 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
198 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
199198elrnmpt1 4928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Y  /\  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V )  -> 
( N `  ( A M y ) )  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) )
200196, 197, 199sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) )
201200, 16syl6eleqr 2374 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  R )
202 infmrlb 9735 . . . . . . 7  |-  ( ( R  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w  /\  ( N `  ( A M y ) )  e.  R )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
203194, 195, 201, 202syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
20417, 203syl5eqbr 4056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
20563, 65, 72, 193, 204letrd 8973 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
20658, 205eqbrtrrd 4045 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
207206ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
208 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  ->  ( A M x )  =  ( A M ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )
209208fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  ->  ( N `  ( A M x ) )  =  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) ) )
210209breq1d 4033 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  ->  ( ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
211210ralbidv 2563 . . 3  |-  ( x  =  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  ->  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) ) )
212211rspcev 2884 . 2  |-  ( ( ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  Y  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
21354, 207, 212syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    |` cres 4691   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   |_cfl 10924   ^cexp 11104   ↾t crest 13325   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   ~~> tclm 16956   Hauscha 17036   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   -vcnsb 21145   normCVcnmcv 21146   IndMetcims 21147   SubSpcss 21297   CPreHil OLDccphlo 21390   CBanccbn 21441
This theorem is referenced by:  minvecolem5  21460
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lm 16959  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442
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