MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4a Unicode version

Theorem minvecolem4a 21456
Description: Lemma for minveco 21463. 
F is convergent in the subspace topology on  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem4a  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem4a
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 21392 . . . . . 6  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
4 minveco.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
5 elin 3358 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
64, 5sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
76simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
8 minveco.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
9 minveco.d . . . . . 6  |-  D  =  ( IndMet `  U )
10 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
11 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
128, 9, 10, 11sspims 21317 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  ( IndMet `  W )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
133, 7, 12syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( IndMet `  W )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
146simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  CBan )
15 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
1615, 10cbncms 21444 . . . . 5  |-  ( W  e.  CBan  ->  ( IndMet `  W )  e.  (
CMet `  ( BaseSet `  W
) ) )
1714, 16syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( IndMet `  W )  e.  ( CMet `  ( BaseSet
`  W ) ) )
1813, 17eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  ( BaseSet
`  W ) ) )
19 minveco.x . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
20 minveco.m . . . . 5  |-  M  =  ( -v `  U
)
21 minveco.n . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
22 minveco.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
23 minveco.j . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
24 minveco.r . . . . 5  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
25 minveco.s . . . . 5  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
26 minveco.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
27 minveco.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
2819, 20, 21, 8, 1, 4, 22, 9, 23, 24, 25, 26, 27minvecolem3 21455 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
2919, 9imsmet 21260 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
301, 2, 293syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31 metxmet 17899 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
3230, 31syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
33 causs 18724 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
3432, 26, 33syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
36 eqid 2283 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3736cmetcau 18715 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  ( BaseSet
`  W ) )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
3818, 35, 37syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
39 xmetres 17928 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
4036methaus 18066 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  e.  Haus )
4132, 39, 403syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e. 
Haus )
42 lmfun 17109 . . 3  |-  ( (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e. 
Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
43 funfvbrb 5638 . . 3  |-  ( Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ( F  e. 
dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  <-> 
F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
4441, 42, 433syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
4538, 44mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ^cexp 11104   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372   ~~> tclm 16956   Hauscha 17036   Caucca 18679   CMetcms 18680   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   -vcnsb 21145   normCVcnmcv 21146   IndMetcims 21147   SubSpcss 21297   CPreHil OLDccphlo 21390   CBanccbn 21441
This theorem is referenced by:  minvecolem4b  21457  minvecolem4  21459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-lm 16959  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442
  Copyright terms: Public domain W3C validator