MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4a Structured version   Unicode version

Theorem minvecolem4a 22379
Description: Lemma for minveco 22386. 
F is convergent in the subspace topology on  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem4a  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem4a
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 22315 . . . . . 6  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
4 minveco.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
5 elin 3530 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
64, 5sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
76simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
8 minveco.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
9 minveco.d . . . . . 6  |-  D  =  ( IndMet `  U )
10 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
11 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
128, 9, 10, 11sspims 22240 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  ( IndMet `  W )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
133, 7, 12syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( IndMet `  W )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
146simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  CBan )
15 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
1615, 10cbncms 22367 . . . . 5  |-  ( W  e.  CBan  ->  ( IndMet `  W )  e.  (
CMet `  ( BaseSet `  W
) ) )
1714, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( IndMet `  W )  e.  ( CMet `  ( BaseSet
`  W ) ) )
1813, 17eqeltrrd 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  ( BaseSet
`  W ) ) )
19 minveco.x . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
20 minveco.m . . . . 5  |-  M  =  ( -v `  U
)
21 minveco.n . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
22 minveco.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
23 minveco.j . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
24 minveco.r . . . . 5  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
25 minveco.s . . . . 5  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
26 minveco.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
27 minveco.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
2819, 20, 21, 8, 1, 4, 22, 9, 23, 24, 25, 26, 27minvecolem3 22378 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
2919, 9imsmet 22183 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
301, 2, 293syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31 metxmet 18364 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
33 causs 19251 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
3432, 26, 33syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
36 eqid 2436 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3736cmetcau 19242 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  ( BaseSet
`  W ) )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
3818, 35, 37syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
39 xmetres 18394 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
4036methaus 18550 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  e.  Haus )
4132, 39, 403syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e. 
Haus )
42 lmfun 17445 . . 3  |-  ( (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e. 
Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
43 funfvbrb 5843 . . 3  |-  ( Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ( F  e. 
dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  <-> 
F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
4441, 42, 433syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
4538, 44mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3319   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880   Fun wfun 5448   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   ^cexp 11382   * Metcxmt 16686   Metcme 16687   MetOpencmopn 16691   ~~> tclm 17290   Hauscha 17372   Caucca 19206   CMetcms 19207   NrmCVeccnv 22063   BaseSetcba 22065   -vcnsb 22068   normCVcnmcv 22069   IndMetcims 22070   SubSpcss 22220   CPreHil OLDccphlo 22313   CBanccbn 22364
This theorem is referenced by:  minvecolem4b  22380  minvecolem4  22382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-ntr 17084  df-nei 17162  df-lm 17293  df-haus 17379  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-cfil 19208  df-cau 19209  df-cmet 19210  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-ssp 22221  df-ph 22314  df-cbn 22365
  Copyright terms: Public domain W3C validator