MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4b Structured version   Unicode version

Theorem minvecolem4b 22372
Description: Lemma for minveco 22378. The convergent point of the cauchy sequence  F is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem4b  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  X )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem4b
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 22307 . . . 4  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
4 minveco.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
5 elin 3522 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
64, 5sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
76simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
8 minveco.x . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
9 minveco.y . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
10 eqid 2435 . . . 4  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
118, 9, 10sspba 22218 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
123, 7, 11syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
13 minveco.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( IndMet `  U )
148, 13imsxmet 22176 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
153, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
16 minveco.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1716methaus 18542 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
1815, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
19 lmfun 17437 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( ~~> t `  J ) )
21 minveco.m . . . . . 6  |-  M  =  ( -v `  U
)
22 minveco.n . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  U )
23 minveco.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
24 minveco.r . . . . . 6  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
25 minveco.s . . . . . 6  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
26 minveco.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
27 minveco.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
288, 21, 22, 9, 1, 4, 23, 13, 16, 24, 25, 26, 27minvecolem4a 22371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
29 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
30 nnuz 10513 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
329, 31eqeltri 2505 . . . . . . . 8  |-  Y  e. 
_V
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
3416mopntop 18462 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
3515, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
36 xmetres2 18383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
3715, 12, 36syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y ) )
38 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3938mopntopon 18461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y
)  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  e.  (TopOn `  Y ) )
4037, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )
)
41 lmcl 17353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )  /\  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
4240, 28, 41syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
43 1z 10303 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
4443a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4529, 30, 33, 35, 42, 44, 26lmss 17354 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
46 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
4746, 16, 38metrest 18546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
4815, 12, 47syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
4948fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ~~> t `  ( Jt  Y ) )  =  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
5049breqd 4215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
5145, 50bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
5228, 51mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
53 funbrfv 5757 . . . 4  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  ->  ( F
( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  -> 
( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) ) )
5420, 52, 53sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
5554, 42eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  Y )
5612, 55sseldd 3341 1  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   ran crn 4871    |` cres 4872   Fun wfun 5440   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   RRcr 8981   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   ZZcz 10274   ^cexp 11374   ↾t crest 13640   * Metcxmt 16678   MetOpencmopn 16683   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   ~~> tclm 17282   Hauscha 17364   NrmCVeccnv 22055   BaseSetcba 22057   -vcnsb 22060   normCVcnmcv 22061   IndMetcims 22062   SubSpcss 22212   CPreHil OLDccphlo 22305   CBanccbn 22356
This theorem is referenced by:  minvecolem4  22374
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-ntr 17076  df-nei 17154  df-lm 17285  df-haus 17371  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-cfil 19200  df-cau 19201  df-cmet 19202  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ims 22072  df-ssp 22213  df-ph 22306  df-cbn 22357
  Copyright terms: Public domain W3C validator