MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4b Unicode version

Theorem minvecolem4b 21473
Description: Lemma for minveco 21479. The convergent point of the cauchy sequence  F is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem4b  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  X )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem4b
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 21408 . . . 4  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
4 minveco.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
5 elin 3371 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
64, 5sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
76simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
8 minveco.x . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
9 minveco.y . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
10 eqid 2296 . . . 4  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
118, 9, 10sspba 21319 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
123, 7, 11syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
13 minveco.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( IndMet `  U )
148, 13imsxmet 21277 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
153, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
16 minveco.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1716methaus 18082 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
1815, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
19 lmfun 17125 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
2018, 19syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( ~~> t `  J ) )
21 minveco.m . . . . . 6  |-  M  =  ( -v `  U
)
22 minveco.n . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  U )
23 minveco.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
24 minveco.r . . . . . 6  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
25 minveco.s . . . . . 6  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
26 minveco.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
27 minveco.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
288, 21, 22, 9, 1, 4, 23, 13, 16, 24, 25, 26, 27minvecolem4a 21472 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
29 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
30 nnuz 10279 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
329, 31eqeltri 2366 . . . . . . . 8  |-  Y  e. 
_V
3332a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
3416mopntop 18002 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
3515, 34syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
36 xmetres2 17941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
3715, 12, 36syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y ) )
38 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3938mopntopon 18001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y
)  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  e.  (TopOn `  Y ) )
4037, 39syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )
)
41 lmcl 17041 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )  /\  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
4240, 28, 41syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
43 1z 10069 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
4443a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4529, 30, 33, 35, 42, 44, 26lmss 17042 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
46 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
4746, 16, 38metrest 18086 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
4815, 12, 47syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
4948fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ~~> t `  ( Jt  Y ) )  =  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
5049breqd 4050 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
5145, 50bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
5228, 51mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
53 funbrfv 5577 . . . 4  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  ->  ( F
( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  -> 
( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) ) )
5420, 52, 53sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
5554, 42eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  Y )
5612, 55sseldd 3194 1  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   ran crn 4706    |` cres 4707   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   ^cexp 11120   ↾t crest 13341   * Metcxmt 16385   MetOpencmopn 16388   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   ~~> tclm 16972   Hauscha 17052   NrmCVeccnv 21156   BaseSetcba 21158   -vcnsb 21161   normCVcnmcv 21162   IndMetcims 21163   SubSpcss 21313   CPreHil OLDccphlo 21406   CBanccbn 21457
This theorem is referenced by:  minvecolem4  21475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-lm 16975  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-cfil 18697  df-cau 18698  df-cmet 18699  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-ssp 21314  df-ph 21407  df-cbn 21458
  Copyright terms: Public domain W3C validator