MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4c Unicode version

Theorem minvecolem4c 22222
Description: Lemma for minveco 22227. The infimum of the distances to  A is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem4c  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem4c
Dummy variables  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.s . 2  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
2 minveco.x . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 minveco.m . . . . 5  |-  M  =  ( -v `  U
)
4 minveco.n . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
5 minveco.y . . . . 5  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
6 minveco.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
7 minveco.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
8 minveco.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 minveco.d . . . . 5  |-  D  =  ( IndMet `  U )
10 minveco.j . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
11 minveco.r . . . . 5  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem1 22217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
1312simp1d 969 . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
1412simp2d 970 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
15 0re 9017 . . . 4  |-  0  e.  RR
1612simp3d 971 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
17 breq1 4149 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
1817ralbidv 2662 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
1918rspcev 2988 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
2015, 16, 19sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
21 infmrcl 9912 . . 3  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2213, 14, 20, 21syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
231, 22syl5eqel 2464 1  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   `'ccnv 4810   ran crn 4812   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   supcsup 7373   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    < clt 9046    <_ cle 9047    / cdiv 9602   NNcn 9925   2c2 9974   ^cexp 11302   MetOpencmopn 16610   BaseSetcba 21906   -vcnsb 21909   normCVcnmcv 21910   IndMetcims 21911   SubSpcss 22061   CPreHil OLDccphlo 22154   CBanccbn 22205
This theorem is referenced by:  minvecolem4  22223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-grpo 21620  df-gid 21621  df-ginv 21622  df-gdiv 21623  df-ablo 21711  df-vc 21866  df-nv 21912  df-va 21915  df-ba 21916  df-sm 21917  df-0v 21918  df-vs 21919  df-nmcv 21920  df-ssp 22062  df-ph 22155  df-cbn 22206
  Copyright terms: Public domain W3C validator