MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4c Structured version   Unicode version

Theorem minvecolem4c 22373
Description: Lemma for minveco 22378. The infimum of the distances to  A is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem4c  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem4c
Dummy variables  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.s . 2  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
2 minveco.x . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 minveco.m . . . . 5  |-  M  =  ( -v `  U
)
4 minveco.n . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
5 minveco.y . . . . 5  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
6 minveco.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
7 minveco.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
8 minveco.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 minveco.d . . . . 5  |-  D  =  ( IndMet `  U )
10 minveco.j . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
11 minveco.r . . . . 5  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem1 22368 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
1312simp1d 969 . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
1412simp2d 970 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
15 0re 9083 . . . 4  |-  0  e.  RR
1612simp3d 971 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
17 breq1 4207 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
1817ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
1918rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
2015, 16, 19sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
21 infmrcl 9979 . . 3  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2213, 14, 20, 21syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
231, 22syl5eqel 2519 1  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   ran crn 4871   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   ^cexp 11374   MetOpencmopn 16683   BaseSetcba 22057   -vcnsb 22060   normCVcnmcv 22061   IndMetcims 22062   SubSpcss 22212   CPreHil OLDccphlo 22305   CBanccbn 22356
This theorem is referenced by:  minvecolem4  22374
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ssp 22213  df-ph 22306  df-cbn 22357
  Copyright terms: Public domain W3C validator