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Theorem minvecolem5 22383
Description: Lemma for minveco 22386. Discharge the assumption about the sequence  F by applying countable choice ax-cc 8315. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
minvecolem5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, R    x, S, y    x, A, y    x, D, y    x, U, y   
x, W, y    x, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem5
Dummy variables  n  k  w  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnrecgt0 10037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  n
) )
21adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  /  n
) )
3 nnrecre 10036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
43adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
5 minveco.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
6 minveco.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 minveco.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  M  =  ( -v `  U
)
8 minveco.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( normCV `  U )
9 minveco.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
10 minveco.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
11 minveco.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
12 minveco.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
13 minveco.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  D  =  ( IndMet `  U )
14 minveco.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
15 minveco.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15minvecolem1 22376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R 
C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w
) )
1817simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  C_  RR )
1917simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  =/=  (/) )
20 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
2117simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
22 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
2322ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2423rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
2520, 21, 24sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
26 infmrcl 9987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2718, 19, 25, 26syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
285, 27syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  e.  RR )
2928resqcld 11549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
304, 29ltaddposd 9610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( 1  /  n )  <->  ( S ^ 2 )  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
312, 30mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3229, 4readdcld 9115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
3328sqge0d 11550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( S ^ 2 ) )
3429, 4, 33, 2addgegt0d 9600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3532, 34elrpd 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR+ )
3635rpge0d 10652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
37 resqrth 12061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  -> 
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
3832, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3931, 38breqtrrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  < 
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 ) )
4035rpsqrcld 12214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR+ )
4140rpred 10648 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR )
4220a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
43 infmrgelb 9988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
4418, 19, 25, 42, 43syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
)
4521, 44mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
4645, 5syl6breqr 4252 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  S )
4732, 36sqrge0d 12223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
4828, 41, 46, 47lt2sqd 11557 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  <  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <->  ( S ^
2 )  <  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
4939, 48mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  < 
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
5028, 41ltnled 9220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  <  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S
) )
5149, 50mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  S )
525breq2i 4220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
53 infmrgelb 9988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w
) )
5418, 19, 25, 41, 53syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w ) )
5552, 54syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w
) )
5615raleqi 2908 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<-> 
A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w )
57 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
5857rgenw 2773 . . . . . . . . . 10  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V
59 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
60 breq2 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( N `  ( A M y ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<->  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6159, 60ralrnmpt 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6258, 61ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6356, 62bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6455, 63syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6551, 64mtbid 292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
66 rexnal 2716 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  -.  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6765, 66sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
6832adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
69 phnv 22315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
7010, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
7170ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
7212ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
73 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
7473, 11sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
75 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
766, 9, 75sspba 22226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
7770, 74, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
7877adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Y  C_  X )
7978sselda 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
806, 7nvmcl 22128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A M y )  e.  X )
8171, 72, 79, 80syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A M y )  e.  X )
826, 8nvcl 22148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
8371, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
8483resqcld 11549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  e.  RR )
8568, 84letrid 9223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  \/  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
8685ord 367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  -> 
( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
8741adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR )
8847adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
896, 8nvge0 22163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
9071, 81, 89syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
9187, 83, 88, 90le2sqd 11558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) ^
2 )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9238adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
9392breq1d 4222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 )  <->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9491, 93bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9594notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  -.  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 ) ) )
966, 7, 8, 13imsdval 22178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
9771, 72, 79, 96syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D y )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
9897oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 ) )
9998breq1d 4222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
10086, 95, 993imtr4d 260 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
101100reximdva 2818 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  ->  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
10267, 101mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
103102ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
104 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
1059, 104eqeltri 2506 . . . 4  |-  Y  e. 
_V
106 nnenom 11319 . . . 4  |-  NN  ~~  om
107 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  ( A D y )  =  ( A D ( f `  n ) ) )
108107oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( f `  n ) ) ^
2 ) )
109108breq1d 4222 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( f `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
110105, 106, 109axcc4 8319 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  ->  E. f ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
111103, 110syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
11210adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  U  e.  CPreHil OLD )
11311adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) )
11412adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  A  e.  X
)
115 simprl 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  f : NN --> Y )
116 simprr 734 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
117 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
118117oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( A D ( f `  n ) )  =  ( A D ( f `  k ) ) )
119118oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 ) )
120 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
121120oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k
) ) )
122119, 121breq12d 4225 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k ) ) ) )
123122rspccva 3051 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A D ( f `  k ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k
) ) )
124116, 123sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k ) ) )
125 eqid 2436 . . 3  |-  ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
1266, 7, 8, 9, 112, 113, 114, 13, 14, 15, 5, 115, 124, 125minvecolem4 22382 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
127111, 126exlimddv 1648 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   ^cexp 11382   sqrcsqr 12038   MetOpencmopn 16691   ~~> tclm 17290   NrmCVeccnv 22063   BaseSetcba 22065   -vcnsb 22068   normCVcnmcv 22069   IndMetcims 22070   SubSpcss 22220   CPreHil OLDccphlo 22313   CBanccbn 22364
This theorem is referenced by:  minvecolem7  22385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lm 17293  df-haus 17379  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-cfil 19208  df-cau 19209  df-cmet 19210  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-ssp 22221  df-ph 22314  df-cbn 22365
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