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Theorem minvecolem6 22234
Description: Lemma for minveco 22236. Any minimal point is less than  S away from  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
minvecolem6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, R    x, S, y    x, A, y    x, D, y    x, U, y   
x, W, y    x, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem6
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 22165 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
5 minveco.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
65adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A  e.  X )
7 inss1 3506 . . . . . . . . 9  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
8 minveco.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
97, 8sseldi 3291 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
10 minveco.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
11 minveco.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
12 eqid 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
1310, 11, 12sspba 22076 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
143, 9, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
1514sselda 3293 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
16 minveco.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( -v `  U
)
17 minveco.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
18 minveco.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( IndMet `  U )
1910, 16, 17, 18imsdval 22028 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A D x )  =  ( N `  ( A M x ) ) )
204, 6, 15, 19syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A D x )  =  ( N `  ( A M x ) ) )
2120oveq1d 6037 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( A D x ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A M x ) ) ^
2 ) )
22 minveco.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
23 minveco.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
24 minveco.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
2510, 16, 17, 11, 1, 8, 5, 18, 23, 24minvecolem1 22226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2625adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2726simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
2826simp2d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  =/=  (/) )
29 0re 9026 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  e.  RR )
3126simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
32 breq1 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
3332ralbidv 2671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
3433rspcev 2997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
3530, 31, 34syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
36 infmrcl 9921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
3727, 28, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
3822, 37syl5eqel 2473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
3938resqcld 11478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
4039recnd 9049 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
4140addid1d 9200 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  0 )  =  ( S ^
2 ) )
4221, 41breq12d 4168 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  ( ( N `  ( A M x ) ) ^ 2 )  <_ 
( S ^ 2 ) ) )
4310, 16nvmcl 21978 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A M x )  e.  X )
444, 6, 15, 43syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A M x )  e.  X )
4510, 17nvcl 21998 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M x )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M x ) )  e.  RR )
464, 44, 45syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M x ) )  e.  RR )
4710, 17nvge0 22013 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M x )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A M x ) ) )
484, 44, 47syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A M x ) ) )
49 infmrgelb 9922 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5027, 28, 35, 30, 49syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5131, 50mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
5251, 22syl6breqr 4195 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  S )
5346, 38, 48, 52le2sqd 11487 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_  S  <->  ( ( N `  ( A M x ) ) ^ 2 )  <_ 
( S ^ 2 ) ) )
5422breq2i 4163 . . . 4  |-  ( ( N `  ( A M x ) )  <_  S  <->  ( N `  ( A M x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
55 infmrgelb 9922 . . . . 5  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  ( N `
 ( A M x ) )  e.  RR )  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w ) )
5627, 28, 35, 46, 55syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w ) )
5754, 56syl5bb 249 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_  S  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w
) )
5842, 53, 573bitr2d 273 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w
) )
5924raleqi 2853 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( N `
 ( A M x ) )  <_  w )
60 fvex 5684 . . . . 5  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
6160rgenw 2718 . . . 4  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V
62 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
63 breq2 4159 . . . . 5  |-  ( w  =  ( N `  ( A M y ) )  ->  ( ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6462, 63ralrnmpt 5819 . . . 4  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6561, 64ax-mp 8 . . 3  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6659, 65bitri 241 . 2  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6758, 66syl6bb 253 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652   _Vcvv 2901    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   `'ccnv 4819   ran crn 4821   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   supcsup 7382   RRcr 8924   0cc0 8925    + caddc 8928    < clt 9055    <_ cle 9056   2c2 9983   ^cexp 11311   MetOpencmopn 16619   NrmCVeccnv 21913   BaseSetcba 21915   -vcnsb 21918   normCVcnmcv 21919   IndMetcims 21920   SubSpcss 22070   CPreHil OLDccphlo 22163   CBanccbn 22214
This theorem is referenced by:  minvecolem7  22235
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-grpo 21629  df-gid 21630  df-ginv 21631  df-gdiv 21632  df-ablo 21720  df-vc 21875  df-nv 21921  df-va 21924  df-ba 21925  df-sm 21926  df-0v 21927  df-vs 21928  df-nmcv 21929  df-ims 21930  df-ssp 22071  df-ph 22164  df-cbn 22215
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