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Theorem minvecolem6 22384
Description: Lemma for minveco 22386. Any minimal point is less than  S away from  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
minvecolem6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, R    x, S, y    x, A, y    x, D, y    x, U, y   
x, W, y    x, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem6
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 22315 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
5 minveco.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
65adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A  e.  X )
7 inss1 3561 . . . . . . . . 9  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
8 minveco.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
97, 8sseldi 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
10 minveco.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
11 minveco.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
12 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
1310, 11, 12sspba 22226 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
143, 9, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
1514sselda 3348 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
16 minveco.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( -v `  U
)
17 minveco.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
18 minveco.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( IndMet `  U )
1910, 16, 17, 18imsdval 22178 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A D x )  =  ( N `  ( A M x ) ) )
204, 6, 15, 19syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A D x )  =  ( N `  ( A M x ) ) )
2120oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( A D x ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A M x ) ) ^
2 ) )
22 minveco.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
23 minveco.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
24 minveco.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
2510, 16, 17, 11, 1, 8, 5, 18, 23, 24minvecolem1 22376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2625adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2726simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
2826simp2d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  =/=  (/) )
29 0re 9091 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  e.  RR )
3126simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
32 breq1 4215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
3332ralbidv 2725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
3433rspcev 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
3530, 31, 34syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
36 infmrcl 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
3727, 28, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
3822, 37syl5eqel 2520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
3938resqcld 11549 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
4039recnd 9114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
4140addid1d 9266 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  0 )  =  ( S ^
2 ) )
4221, 41breq12d 4225 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  ( ( N `  ( A M x ) ) ^ 2 )  <_ 
( S ^ 2 ) ) )
4310, 16nvmcl 22128 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A M x )  e.  X )
444, 6, 15, 43syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A M x )  e.  X )
4510, 17nvcl 22148 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M x )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M x ) )  e.  RR )
464, 44, 45syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M x ) )  e.  RR )
4710, 17nvge0 22163 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M x )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A M x ) ) )
484, 44, 47syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A M x ) ) )
49 infmrgelb 9988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5027, 28, 35, 30, 49syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5131, 50mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
5251, 22syl6breqr 4252 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  S )
5346, 38, 48, 52le2sqd 11558 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_  S  <->  ( ( N `  ( A M x ) ) ^ 2 )  <_ 
( S ^ 2 ) ) )
5422breq2i 4220 . . . 4  |-  ( ( N `  ( A M x ) )  <_  S  <->  ( N `  ( A M x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
55 infmrgelb 9988 . . . . 5  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  ( N `
 ( A M x ) )  e.  RR )  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w ) )
5627, 28, 35, 46, 55syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w ) )
5754, 56syl5bb 249 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_  S  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w
) )
5842, 53, 573bitr2d 273 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w
) )
5924raleqi 2908 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( N `
 ( A M x ) )  <_  w )
60 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
6160rgenw 2773 . . . 4  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V
62 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
63 breq2 4216 . . . . 5  |-  ( w  =  ( N `  ( A M y ) )  ->  ( ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6462, 63ralrnmpt 5878 . . . 4  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6561, 64ax-mp 8 . . 3  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6659, 65bitri 241 . 2  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6758, 66syl6bb 253 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121   2c2 10049   ^cexp 11382   MetOpencmopn 16691   NrmCVeccnv 22063   BaseSetcba 22065   -vcnsb 22068   normCVcnmcv 22069   IndMetcims 22070   SubSpcss 22220   CPreHil OLDccphlo 22313   CBanccbn 22364
This theorem is referenced by:  minvecolem7  22385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-ssp 22221  df-ph 22314  df-cbn 22365
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