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Theorem minvecolem7 21462
Description: Lemma for minveco 21463. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
minvecolem7  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, R    x, S, y    x, A, y    x, D, y    x, U, y   
x, W, y    x, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem7
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 minveco.m . . 3  |-  M  =  ( -v `  U
)
3 minveco.n . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
4 minveco.y . . 3  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
5 minveco.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
6 minveco.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
7 minveco.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
8 minveco.d . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
9 minveco.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
10 minveco.r . . 3  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
11 minveco.s . . 3  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem5 21460 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
135ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  U  e.  CPreHil OLD )
146ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) )
157ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  A  e.  X
)
16 0re 8838 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
1716a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  0  e.  RR )
18 0le0 9827 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
1918a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  0  <_  0
)
20 simplrl 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  x  e.  Y
)
21 simplrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  w  e.  Y
)
22 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  ( ( A D x ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  0 ) )
23 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  ( ( A D w ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  0 ) )
241, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 20, 21, 22, 23minvecolem2 21454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  ( ( x D w ) ^
2 )  <_  (
4  x.  0 ) )
2524ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( ( A D x ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  0 )  /\  ( ( A D w ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  0 ) )  ->  (
( x D w ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  0 ) ) )
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 21461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
2726adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( A D x ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 21461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( ( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
2928adantrl 696 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( A D w ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
3027, 29anbi12d 691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( ( A D x ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  0 )  /\  ( ( A D w ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  0 ) )  <->  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) ) )
31 4cn 9820 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
3231mul01i 9002 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  0 )  =  0
3332breq2i 4031 . . . . 5  |-  ( ( ( x D w ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  0 )  <->  ( (
x D w ) ^ 2 )  <_ 
0 )
34 phnv 21392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
355, 34syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
3635adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
371, 8imsmet 21260 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
39 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
4039, 6sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
41 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
421, 4, 41sspba 21303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
4335, 40, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
4443adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  Y  C_  X )
45 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  x  e.  Y )
4644, 45sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  x  e.  X )
47 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  w  e.  Y )
4844, 47sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  w  e.  X )
49 metcl 17897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
x D w )  e.  RR )
5038, 46, 48, 49syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( x D w )  e.  RR )
5150sqge0d 11272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
0  <_  ( (
x D w ) ^ 2 ) )
5251biantrud 493 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  0  <->  ( ( ( x D w ) ^ 2 )  <_  0  /\  0  <_  ( ( x D w ) ^
2 ) ) ) )
5350resqcld 11271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( x D w ) ^ 2 )  e.  RR )
54 letri3 8907 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x D w ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( x D w ) ^
2 )  =  0  <-> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  0  /\  0  <_  ( ( x D w ) ^ 2 ) ) ) )
5553, 16, 54sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  =  0  <-> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  0  /\  0  <_  ( ( x D w ) ^ 2 ) ) ) )
5650recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( x D w )  e.  CC )
57 sqeq0 11168 . . . . . . . 8  |-  ( ( x D w )  e.  CC  ->  (
( ( x D w ) ^ 2 )  =  0  <->  (
x D w )  =  0 ) )
5856, 57syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  =  0  <-> 
( x D w )  =  0 ) )
59 meteq0 17904 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( x D w )  =  0  <->  x  =  w ) )
6038, 46, 48, 59syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( x D w )  =  0  <-> 
x  =  w ) )
6158, 60bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  =  0  <-> 
x  =  w ) )
6252, 55, 613bitr2d 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  0  <->  x  =  w ) )
6333, 62syl5bb 248 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  (
4  x.  0 )  <-> 
x  =  w ) )
6425, 30, 633imtr3d 258 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )  ->  x  =  w )
)
6564ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Y  A. w  e.  Y  ( ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )  ->  x  =  w )
)
66 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  ( A M x )  =  ( A M w ) )
6766fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  ( N `  ( A M x ) )  =  ( N `  ( A M w ) ) )
6867breq1d 4033 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6968ralbidv 2563 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
7069reu4 2959 . 2  |-  ( E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  /\  A. x  e.  Y  A. w  e.  Y  ( ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )  ->  x  =  w ) ) )
7112, 65, 70sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   2c2 9795   4c4 9797   ^cexp 11104   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   -vcnsb 21145   normCVcnmcv 21146   IndMetcims 21147   SubSpcss 21297   CPreHil OLDccphlo 21390   CBanccbn 21441
This theorem is referenced by:  minveco  21463
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lm 16959  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442
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