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Theorem minvecolem7 22385
Description: Lemma for minveco 22386. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
minvecolem7  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, R    x, S, y    x, A, y    x, D, y    x, U, y   
x, W, y    x, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem7
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 minveco.m . . 3  |-  M  =  ( -v `  U
)
3 minveco.n . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
4 minveco.y . . 3  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
5 minveco.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
6 minveco.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
7 minveco.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
8 minveco.d . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
9 minveco.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
10 minveco.r . . 3  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
11 minveco.s . . 3  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem5 22383 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
135ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  U  e.  CPreHil OLD )
146ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) )
157ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  A  e.  X
)
16 0re 9091 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  0  e.  RR )
18 0le0 10081 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  0  <_  0
)
20 simplrl 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  x  e.  Y
)
21 simplrr 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  w  e.  Y
)
22 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  ( ( A D x ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  0 ) )
23 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  ( ( A D w ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  0 ) )
241, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 20, 21, 22, 23minvecolem2 22377 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  ( ( x D w ) ^
2 )  <_  (
4  x.  0 ) )
2524ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( ( A D x ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  0 )  /\  ( ( A D w ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  0 ) )  ->  (
( x D w ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  0 ) ) )
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 22384 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
2726adantrr 698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( A D x ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 22384 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( ( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
2928adantrl 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( A D w ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
3027, 29anbi12d 692 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( ( A D x ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  0 )  /\  ( ( A D w ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  0 ) )  <->  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) ) )
31 4cn 10074 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
3231mul01i 9256 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  0 )  =  0
3332breq2i 4220 . . . . 5  |-  ( ( ( x D w ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  0 )  <->  ( (
x D w ) ^ 2 )  <_ 
0 )
34 phnv 22315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
355, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
3635adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
371, 8imsmet 22183 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
39 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
4039, 6sseldi 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
41 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
421, 4, 41sspba 22226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
4335, 40, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
4443adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  Y  C_  X )
45 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  x  e.  Y )
4644, 45sseldd 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  x  e.  X )
47 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  w  e.  Y )
4844, 47sseldd 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  w  e.  X )
49 metcl 18362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
x D w )  e.  RR )
5038, 46, 48, 49syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( x D w )  e.  RR )
5150sqge0d 11550 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
0  <_  ( (
x D w ) ^ 2 ) )
5251biantrud 494 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  0  <->  ( ( ( x D w ) ^ 2 )  <_  0  /\  0  <_  ( ( x D w ) ^
2 ) ) ) )
5350resqcld 11549 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( x D w ) ^ 2 )  e.  RR )
54 letri3 9160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x D w ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( x D w ) ^
2 )  =  0  <-> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  0  /\  0  <_  ( ( x D w ) ^ 2 ) ) ) )
5553, 16, 54sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  =  0  <-> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  0  /\  0  <_  ( ( x D w ) ^ 2 ) ) ) )
5650recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( x D w )  e.  CC )
57 sqeq0 11446 . . . . . . . 8  |-  ( ( x D w )  e.  CC  ->  (
( ( x D w ) ^ 2 )  =  0  <->  (
x D w )  =  0 ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  =  0  <-> 
( x D w )  =  0 ) )
59 meteq0 18369 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( x D w )  =  0  <->  x  =  w ) )
6038, 46, 48, 59syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( x D w )  =  0  <-> 
x  =  w ) )
6158, 60bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  =  0  <-> 
x  =  w ) )
6252, 55, 613bitr2d 273 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  0  <->  x  =  w ) )
6333, 62syl5bb 249 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  (
4  x.  0 )  <-> 
x  =  w ) )
6425, 30, 633imtr3d 259 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )  ->  x  =  w )
)
6564ralrimivva 2798 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Y  A. w  e.  Y  ( ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )  ->  x  =  w )
)
66 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  ( A M x )  =  ( A M w ) )
6766fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  ( N `  ( A M x ) )  =  ( N `  ( A M w ) ) )
6867breq1d 4222 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6968ralbidv 2725 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
7069reu4 3128 . 2  |-  ( E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  /\  A. x  e.  Y  A. w  e.  Y  ( ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M w ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )  ->  x  =  w ) ) )
7112, 65, 70sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707    i^i cin 3319    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121   2c2 10049   4c4 10051   ^cexp 11382   Metcme 16687   MetOpencmopn 16691   NrmCVeccnv 22063   BaseSetcba 22065   -vcnsb 22068   normCVcnmcv 22069   IndMetcims 22070   SubSpcss 22220   CPreHil OLDccphlo 22313   CBanccbn 22364
This theorem is referenced by:  minveco  22386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lm 17293  df-haus 17379  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-cfil 19208  df-cau 19209  df-cmet 19210  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-ssp 22221  df-ph 22314  df-cbn 22365
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