Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mncn0 Structured version   Unicode version

Theorem mncn0 27312
Description: A monic polynomial is not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
mncn0  |-  ( P  e.  (  Monic  `  S
)  ->  P  =/=  0 p )

Proof of Theorem mncn0
StepHypRef Expression
1 mnccoe 27311 . 2  |-  ( P  e.  (  Monic  `  S
)  ->  ( (coeff `  P ) `  (deg `  P ) )  =  1 )
2 coe0 20166 . . . . . . 7  |-  (coeff ` 
0 p )  =  ( NN0  X.  {
0 } )
32fveq1i 5721 . . . . . 6  |-  ( (coeff `  0 p ) `
 (deg `  0 p ) )  =  ( ( NN0  X.  { 0 } ) `
 (deg `  0 p ) )
4 dgr0 20172 . . . . . . . 8  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
5 0nn0 10228 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
64, 5eqeltri 2505 . . . . . . 7  |-  (deg ` 
0 p )  e. 
NN0
7 c0ex 9077 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
87fvconst2 5939 . . . . . . 7  |-  ( (deg
`  0 p )  e.  NN0  ->  ( ( NN0  X.  { 0 } ) `  (deg `  0 p ) )  =  0 )
96, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( NN0  X.  { 0 } ) `  (deg `  0 p ) )  =  0
103, 9eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( (coeff `  0 p ) `
 (deg `  0 p ) )  =  0
11 ax-1ne0 9051 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
1211necomi 2680 . . . . 5  |-  0  =/=  1
1310, 12eqnetri 2615 . . . 4  |-  ( (coeff `  0 p ) `
 (deg `  0 p ) )  =/=  1
14 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( P  =  0 p  -> 
(coeff `  P )  =  (coeff `  0 p
) )
15 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( P  =  0 p  -> 
(deg `  P )  =  (deg `  0 p
) )
1614, 15fveq12d 5726 . . . . 5  |-  ( P  =  0 p  -> 
( (coeff `  P
) `  (deg `  P
) )  =  ( (coeff `  0 p
) `  (deg `  0 p ) ) )
1716neeq1d 2611 . . . 4  |-  ( P  =  0 p  -> 
( ( (coeff `  P ) `  (deg `  P ) )  =/=  1  <->  ( (coeff ` 
0 p ) `  (deg `  0 p ) )  =/=  1 ) )
1813, 17mpbiri 225 . . 3  |-  ( P  =  0 p  -> 
( (coeff `  P
) `  (deg `  P
) )  =/=  1
)
1918necon2i 2645 . 2  |-  ( ( (coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =  1  ->  P  =/=  0 p )
201, 19syl 16 1  |-  ( P  e.  (  Monic  `  S
)  ->  P  =/=  0 p )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {csn 3806    X. cxp 4868   ` cfv 5446   0cc0 8982   1c1 8983   NN0cn0 10213   0 pc0p 19553  coeffccoe 20097  degcdgr 20098    Monic cmnc 27303
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-0p 19554  df-ply 20099  df-coe 20101  df-dgr 20102  df-mnc 27305
  Copyright terms: Public domain W3C validator