MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndass Unicode version

Theorem mndass 14659
Description: A monoid operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlem1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndlem1.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mndass  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem mndass
StepHypRef Expression
1 mndlem1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndlem1.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2mndlem1 14657 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) )
43simprd 450 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   +g cplusg 13492   Mndcmnd 14647
This theorem is referenced by:  mnd32g  14662  mnd12g  14663  mnd4g  14664  issubmnd  14687  prdsmndd  14691  imasmnd  14696  gsumccat  14750  grpass  14782  mulgnndir  14875  cntzsubm  15097  oppgmnd  15113  frgp0  15355  mulgnn0di  15411  gsumval3eu  15476  gsumval3  15477  rngass  15643  mndvass  27323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-nul 4306  ax-pow 4345
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-iota 5385  df-fv 5429  df-ov 6051  df-mnd 14653
  Copyright terms: Public domain W3C validator