MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndcl Structured version   Unicode version

Theorem mndcl 14695
Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlem1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndlem1.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mndcl  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem mndcl
StepHypRef Expression
1 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  <->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  e.  B ) )
2 anabs1 784 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  e.  B )  <->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
31, 2bitri 241 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  <->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
4 mndlem1.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 mndlem1.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
64, 5mndlem1 14694 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  X ) ) ) )
76simpld 446 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
83, 7sylan2br 463 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
983impb 1149 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   Mndcmnd 14684
This theorem is referenced by:  mnd4g  14701  mndplusf  14706  mndfo  14720  mndpropd  14721  issubmnd  14724  prdsplusgcl  14726  imasmnd  14733  0mhm  14758  mhmco  14762  mhmeql  14764  submacs  14765  prdspjmhm  14766  pwsdiagmhm  14768  pwsco1mhm  14769  pwsco2mhm  14770  gsumccat  14787  gsumwmhm  14790  grpcl  14818  mulgnncl  14905  mulgnn0cl  14906  mulgnndir  14912  cntzsubm  15134  oppgmnd  15150  lsmssv  15277  frgp0  15392  frgpadd  15395  mulgnn0di  15448  mulgmhm  15450  gsumval3eu  15513  gsumval3  15514  gsumzcl  15518  gsumzaddlem  15526  gsumzmhm  15533  rngcl  15677  rngpropd  15695  tsmsadd  18176  issubmd  27360  mndvcl  27423  mhmvlin  27429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-nul 4338  ax-pow 4377
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-iota 5418  df-fv 5462  df-ov 6084  df-mnd 14690
  Copyright terms: Public domain W3C validator