MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndidcl Unicode version

Theorem mndidcl 14391
Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mndidcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndidcl.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndidcl  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem mndidcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndidcl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndidcl.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2283 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41, 3mndid 14374 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) )
51, 2, 3, 4mgmidcl 14388 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361
This theorem is referenced by:  mndfo  14397  prdsidlem  14404  imasmnd  14410  submid  14428  0mhm  14435  mhmco  14439  mhmeql  14441  submacs  14442  prdspjmhm  14443  pwsdiagmhm  14445  pwsco1mhm  14446  pwsco2mhm  14447  gsumvallem2  14449  grpidcl  14510  mulgnn0cl  14583  mulgnn0z  14587  cntzsubm  14811  oppgmnd  14827  gex1  14902  mulgnn0di  15125  mulgmhm  15127  subcmn  15133  gsumval3  15191  gsumzcl  15195  gsumzaddlem  15203  gsumzsplit  15206  gsumzmhm  15210  rngidcl  15361  tmdmulg  17775  tmdgsum  17778  tsms0  17824  tsmssplit  17834  tsmsxp  17837  pwssplit1  27188  pwssplit4  27191  dsmm0cl  27206  dsmmacl  27207  issubmd  27383  mndvlid  27448  mndvrid  27449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367
  Copyright terms: Public domain W3C validator