MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndidcl Structured version   Unicode version

Theorem mndidcl 14706
Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mndidcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndidcl.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndidcl  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem mndidcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndidcl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndidcl.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2435 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41, 3mndid 14689 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) )
51, 2, 3, 4mgmidcl 14703 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Mndcmnd 14676
This theorem is referenced by:  mndfo  14712  prdsidlem  14719  imasmnd  14725  submid  14743  0mhm  14750  mhmco  14754  mhmeql  14756  submacs  14757  prdspjmhm  14758  pwsdiagmhm  14760  pwsco1mhm  14761  pwsco2mhm  14762  gsumvallem2  14764  grpidcl  14825  mulgnn0cl  14898  mulgnn0z  14902  cntzsubm  15126  oppgmnd  15142  gex1  15217  mulgnn0di  15440  mulgmhm  15442  subcmn  15448  gsumval3  15506  gsumzcl  15510  gsumzaddlem  15518  gsumzsplit  15521  gsumzmhm  15525  rngidcl  15676  tmdmulg  18114  tmdgsum  18117  tsms0  18163  tsmssplit  18173  tsmsxp  18176  sitmcl  24655  pwssplit1  27156  pwssplit4  27159  dsmm0cl  27174  dsmmacl  27175  issubmd  27351  mndvlid  27416  mndvrid  27417
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-riota 6541  df-0g 13719  df-mnd 14682
  Copyright terms: Public domain W3C validator