MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndidcl Unicode version

Theorem mndidcl 14407
Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mndidcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndidcl.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndidcl  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem mndidcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndidcl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndidcl.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2296 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41, 3mndid 14390 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) )
51, 2, 3, 4mgmidcl 14404 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377
This theorem is referenced by:  mndfo  14413  prdsidlem  14420  imasmnd  14426  submid  14444  0mhm  14451  mhmco  14455  mhmeql  14457  submacs  14458  prdspjmhm  14459  pwsdiagmhm  14461  pwsco1mhm  14462  pwsco2mhm  14463  gsumvallem2  14465  grpidcl  14526  mulgnn0cl  14599  mulgnn0z  14603  cntzsubm  14827  oppgmnd  14843  gex1  14918  mulgnn0di  15141  mulgmhm  15143  subcmn  15149  gsumval3  15207  gsumzcl  15211  gsumzaddlem  15219  gsumzsplit  15222  gsumzmhm  15226  rngidcl  15377  tmdmulg  17791  tmdgsum  17794  tsms0  17840  tsmssplit  17850  tsmsxp  17853  pwssplit1  27291  pwssplit4  27294  dsmm0cl  27309  dsmmacl  27310  issubmd  27486  mndvlid  27551  mndvrid  27552
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383
  Copyright terms: Public domain W3C validator