MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndidcl Unicode version

Theorem mndidcl 14641
Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mndidcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndidcl.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndidcl  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem mndidcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndidcl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndidcl.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2387 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41, 3mndid 14624 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) )
51, 2, 3, 4mgmidcl 14638 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5394   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   0gc0g 13650   Mndcmnd 14611
This theorem is referenced by:  mndfo  14647  prdsidlem  14654  imasmnd  14660  submid  14678  0mhm  14685  mhmco  14689  mhmeql  14691  submacs  14692  prdspjmhm  14693  pwsdiagmhm  14695  pwsco1mhm  14696  pwsco2mhm  14697  gsumvallem2  14699  grpidcl  14760  mulgnn0cl  14833  mulgnn0z  14837  cntzsubm  15061  oppgmnd  15077  gex1  15152  mulgnn0di  15375  mulgmhm  15377  subcmn  15383  gsumval3  15441  gsumzcl  15445  gsumzaddlem  15453  gsumzsplit  15456  gsumzmhm  15460  rngidcl  15611  tmdmulg  18043  tmdgsum  18046  tsms0  18092  tsmssplit  18102  tsmsxp  18105  pwssplit1  26857  pwssplit4  26860  dsmm0cl  26875  dsmmacl  26876  issubmd  27052  mndvlid  27117  mndvrid  27118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fv 5402  df-ov 6023  df-riota 6485  df-0g 13654  df-mnd 14617
  Copyright terms: Public domain W3C validator