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Theorem mndlem1 14371
Description: Lemma for monoid properties. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlem1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndlem1.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mndlem1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) )

Proof of Theorem mndlem1
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndlem1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndlem1.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2ismnd 14369 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .+  y
)  e.  B  /\  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )  /\  E. w  e.  B  A. x  e.  B  ( ( w 
.+  x )  =  x  /\  ( x 
.+  w )  =  x ) ) )
43simplbi 446 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .+  y )  e.  B  /\  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
5 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  y )  =  ( X  .+  y ) )
65eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .+  y
)  e.  B  <->  ( X  .+  y )  e.  B
) )
75oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( ( X 
.+  y )  .+  z ) )
8 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  ( y  .+  z ) )  =  ( X  .+  (
y  .+  z )
) )
97, 8eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) )  <->  ( ( X  .+  y )  .+  z )  =  ( X  .+  ( y 
.+  z ) ) ) )
106, 9anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )  <-> 
( ( X  .+  y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( y  .+  z ) ) ) ) )
11 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  y )  =  ( X  .+  Y
) )
1211eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .+  y
)  e.  B  <->  ( X  .+  Y )  e.  B
) )
1311oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .+  y
)  .+  z )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  z ) )
14 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .+  z )  =  ( Y  .+  z ) )
1514oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  ( y  .+  z ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  z ) ) )
1613, 15eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .+  y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( y  .+  z ) )  <->  ( ( X  .+  Y )  .+  z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  z ) ) ) )
1712, 16anbi12d 691 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .+  y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( y  .+  z ) ) )  <-> 
( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  z ) ) ) ) )
18 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  z )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) )
19 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .+  z )  =  ( Y  .+  Z
) )
2019oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  ( X  .+  ( Y  .+  z ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
2118, 20eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  z ) )  <->  ( ( X  .+  Y )  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) ) )
2221anbi2d 684 . . 3  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  z ) ) )  <-> 
( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
2310, 17, 22rspc3v 2893 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y ) 
.+  z )  =  ( x  .+  (
y  .+  z )
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
244, 23mpan9 455 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Mndcmnd 14361
This theorem is referenced by:  mndcl  14372  mndass  14373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149  ax-pow 4188
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-mnd 14367
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