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Theorem mndlem1 14464
Description: Lemma for monoid properties. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlem1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndlem1.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mndlem1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) )

Proof of Theorem mndlem1
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndlem1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndlem1.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2ismnd 14462 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .+  y
)  e.  B  /\  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )  /\  E. w  e.  B  A. x  e.  B  ( ( w 
.+  x )  =  x  /\  ( x 
.+  w )  =  x ) ) )
43simplbi 446 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .+  y )  e.  B  /\  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
5 oveq1 5949 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  y )  =  ( X  .+  y ) )
65eleq1d 2424 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .+  y
)  e.  B  <->  ( X  .+  y )  e.  B
) )
75oveq1d 5957 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( ( X 
.+  y )  .+  z ) )
8 oveq1 5949 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  ( y  .+  z ) )  =  ( X  .+  (
y  .+  z )
) )
97, 8eqeq12d 2372 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) )  <->  ( ( X  .+  y )  .+  z )  =  ( X  .+  ( y 
.+  z ) ) ) )
106, 9anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )  <-> 
( ( X  .+  y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( y  .+  z ) ) ) ) )
11 oveq2 5950 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  y )  =  ( X  .+  Y
) )
1211eleq1d 2424 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .+  y
)  e.  B  <->  ( X  .+  Y )  e.  B
) )
1311oveq1d 5957 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .+  y
)  .+  z )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  z ) )
14 oveq1 5949 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .+  z )  =  ( Y  .+  z ) )
1514oveq2d 5958 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  ( y  .+  z ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  z ) ) )
1613, 15eqeq12d 2372 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .+  y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( y  .+  z ) )  <->  ( ( X  .+  Y )  .+  z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  z ) ) ) )
1712, 16anbi12d 691 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .+  y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( y  .+  z ) ) )  <-> 
( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  z ) ) ) ) )
18 oveq2 5950 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  z )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) )
19 oveq2 5950 . . . . . 6  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .+  z )  =  ( Y  .+  Z
) )
2019oveq2d 5958 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  ( X  .+  ( Y  .+  z ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
2118, 20eqeq12d 2372 . . . 4  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  z ) )  <->  ( ( X  .+  Y )  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) ) )
2221anbi2d 684 . . 3  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  z ) ) )  <-> 
( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
2310, 17, 22rspc3v 2969 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y ) 
.+  z )  =  ( x  .+  (
y  .+  z )
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
244, 23mpan9 455 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239   +g cplusg 13299   Mndcmnd 14454
This theorem is referenced by:  mndcl  14465  mndass  14466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-nul 4228  ax-pow 4267
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-iota 5298  df-fv 5342  df-ov 5945  df-mnd 14460
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