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Theorem mndlem1 14699
Description: Lemma for monoid properties. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlem1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndlem1.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mndlem1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) )

Proof of Theorem mndlem1
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndlem1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndlem1.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2ismnd 14697 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .+  y
)  e.  B  /\  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )  /\  E. w  e.  B  A. x  e.  B  ( ( w 
.+  x )  =  x  /\  ( x 
.+  w )  =  x ) ) )
43simplbi 448 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .+  y )  e.  B  /\  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
5 oveq1 6091 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  y )  =  ( X  .+  y ) )
65eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .+  y
)  e.  B  <->  ( X  .+  y )  e.  B
) )
75oveq1d 6099 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( ( X 
.+  y )  .+  z ) )
8 oveq1 6091 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  ( y  .+  z ) )  =  ( X  .+  (
y  .+  z )
) )
97, 8eqeq12d 2452 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) )  <->  ( ( X  .+  y )  .+  z )  =  ( X  .+  ( y 
.+  z ) ) ) )
106, 9anbi12d 693 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )  <-> 
( ( X  .+  y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( y  .+  z ) ) ) ) )
11 oveq2 6092 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  y )  =  ( X  .+  Y
) )
1211eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .+  y
)  e.  B  <->  ( X  .+  Y )  e.  B
) )
1311oveq1d 6099 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .+  y
)  .+  z )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  z ) )
14 oveq1 6091 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .+  z )  =  ( Y  .+  z ) )
1514oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  ( y  .+  z ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  z ) ) )
1613, 15eqeq12d 2452 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .+  y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( y  .+  z ) )  <->  ( ( X  .+  Y )  .+  z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  z ) ) ) )
1712, 16anbi12d 693 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .+  y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( y  .+  z ) ) )  <-> 
( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  z ) ) ) ) )
18 oveq2 6092 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  z )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) )
19 oveq2 6092 . . . . . 6  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .+  z )  =  ( Y  .+  Z
) )
2019oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  ( X  .+  ( Y  .+  z ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
2118, 20eqeq12d 2452 . . . 4  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  z ) )  <->  ( ( X  .+  Y )  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) ) )
2221anbi2d 686 . . 3  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  z ) ) )  <-> 
( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
2310, 17, 22rspc3v 3063 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y ) 
.+  z )  =  ( x  .+  (
y  .+  z )
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
244, 23mpan9 457 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   Mndcmnd 14689
This theorem is referenced by:  mndcl  14700  mndass  14701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-nul 4341  ax-pow 4380
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-iota 5421  df-fv 5465  df-ov 6087  df-mnd 14695
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