MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndlid Unicode version

Theorem mndlid 14409
Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlrid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndlrid.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
mndlrid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndlid  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )

Proof of Theorem mndlid
StepHypRef Expression
1 mndlrid.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndlrid.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 mndlrid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
41, 2, 3mndlrid 14408 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( (  .0.  .+  X )  =  X  /\  ( X  .+  .0.  )  =  X
) )
54simpld 445 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377
This theorem is referenced by:  issubmnd  14417  submnd0  14418  prdsidlem  14420  imasmnd  14426  0mhm  14451  gsumccat  14480  grplid  14528  mulgnn0p1  14594  mulgnn0z  14603  mulgnn0dir  14606  cntzsubm  14827  oppgmnd  14843  odmodnn0  14871  lsmub2x  14974  mulgnn0di  15141  gsumval3  15207  gsumzaddlem  15219  gsumzsplit  15222  tsmssplit  17850  dsmmacl  27310  mndvlid  27551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383
  Copyright terms: Public domain W3C validator