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Theorem mndodcong 14857
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndodcong  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( O `  A
)  ||  ( M  -  N )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )

Proof of Theorem mndodcong
StepHypRef Expression
1 oveq1 5865 . . 3  |-  ( ( M  mod  ( O `
 A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  ->  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
)
2 simp2l 981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  NN0 )
32nn0zd 10115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
4 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
53, 4zmodcld 10990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  e. 
NN0 )
65adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
76nn0red 10019 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  e.  RR )
8 simp2r 982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
98nn0zd 10115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
109, 4zmodcld 10990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  e. 
NN0 )
1110adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
1211nn0red 10019 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  RR )
13 odcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
14 odcl.2 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
15 odid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
16 odid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
17 simp1l 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  G  e.  Mnd )
1817adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  ->  G  e.  Mnd )
19 simp1r 980 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  A  e.  X )
2019adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  ->  A  e.  X )
214adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( O `  A
)  e.  NN )
222nn0red 10019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
234nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  RR+ )
24 modlt 10981 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2522, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2625adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  <  ( O `  A ) )
278nn0red 10019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
28 modlt 10981 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2927, 23, 28syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
3029adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  <  ( O `  A ) )
31 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
3213, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31mndodconglem 14856 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( M  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( N  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) )
3331eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
3413, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33mndodconglem 14856 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( M  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  =  ( M  mod  ( O `  A )
) )
3534eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( M  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) )
367, 12, 32, 35lecasei 8926 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) ) )
3736ex 423 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) ) )
381, 37impbid2 195 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
) )
39 moddvds 12538 . . 3  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  ( M  -  N )
) )
404, 3, 9, 39syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  ( M  -  N )
) )
4113, 14, 15, 16odmodnn0 14855 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( M  .x.  A ) )
4217, 19, 2, 4, 41syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( M  .x.  A ) )
4313, 14, 15, 16odmodnn0 14855 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
4417, 19, 8, 4, 43syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
4542, 44eqeq12d 2297 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
4638, 40, 453bitr3d 274 1  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( O `  A
)  ||  ( M  -  N )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354    mod cmo 10973    || cdivides 12531   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361  .gcmg 14366   odcod 14840
This theorem is referenced by:  mndodcongi  14858  oddvdsnn0  14859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-dvds 12532  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mulg 14492  df-od 14844
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