MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndplusf Unicode version

Theorem mndplusf 14634
Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndplusf.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndplusf.2  |-  .+^  =  ( + f `  G
)
Assertion
Ref Expression
mndplusf  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .+^  : ( B  X.  B ) --> B )

Proof of Theorem mndplusf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndplusf.1 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
31, 2mndcl 14623 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
433expb 1154 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  B )
54ralrimivva 2742 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  B
)
6 mndplusf.2 . . . 4  |-  .+^  =  ( + f `  G
)
71, 2, 6plusffval 14630 . . 3  |-  .+^  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
87fmpt2 6358 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  B  <->  .+^  : ( B  X.  B ) --> B )
95, 8sylib 189 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .+^  : ( B  X.  B ) --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650    X. cxp 4817   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   Mndcmnd 14612   + fcplusf 14615
This theorem is referenced by:  grpplusf  14750  submtmd  18056  mhmhmeotmd  24118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-mnd 14618  df-plusf 14619
  Copyright terms: Public domain W3C validator