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Theorem mndpropd 14723
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a monoid iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
mndpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
mndpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mndpropd  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    ph, x, y    x, L, y

Proof of Theorem mndpropd
Dummy variables  u  s  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  K  e.  Mnd )
2 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
3 mndpropd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
43ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  B  =  ( Base `  K )
)
52, 4eleqtrd 2514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ( Base `  K )
)
6 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
76, 4eleqtrd 2514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
8 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
9 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
108, 9mndcl 14697 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  ( Base `  K
) )
111, 5, 7, 10syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  (
Base `  K )
)
1211, 4eleqtrrd 2515 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
1312ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  Mnd )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
1413ex 425 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( +g  `  K ) y )  e.  B ) )
15 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  L  e.  Mnd )
16 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
17 mndpropd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
1817ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  B  =  ( Base `  L )
)
1916, 18eleqtrd 2514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ( Base `  L )
)
20 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
2120, 18eleqtrd 2514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  L )
)
22 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
23 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
2422, 23mndcl 14697 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  L )  /\  y  e.  ( Base `  L
) )  ->  (
x ( +g  `  L
) y )  e.  ( Base `  L
) )
2515, 19, 21, 24syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  L ) y )  e.  (
Base `  L )
)
26 mndpropd.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
2726adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L
) y ) )
2825, 27, 183eltr4d 2519 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
2928ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( (
ph  /\  L  e.  Mnd )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
3029ex 425 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( +g  `  K ) y )  e.  B ) )
31 simplll 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  ph )
32 simplrl 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  u  e.  B )
33 simplrr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  v  e.  B )
3426proplem 13917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) v )  =  ( u ( +g  `  L ) v ) )
3531, 32, 33, 34syl12anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) v )  =  ( u ( +g  `  L ) v ) )
3635eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  <->  ( u
( +g  `  L ) v )  e.  B
) )
37 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
38 proplem2 13916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  K ) v )  e.  B
)
3932, 33, 37, 38syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) v )  e.  B )
40 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  w  e.  B )
4126proplem 13917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v )  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  L ) w ) )
4231, 39, 40, 41syl12anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  L ) w ) )
4335oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w ) )
4442, 43eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w ) )
45 proplem2 13916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  B  /\  w  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( v
( +g  `  K ) w )  e.  B
)
4633, 40, 37, 45syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
v ( +g  `  K
) w )  e.  B )
4726proplem 13917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  (
v ( +g  `  K
) w )  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )
4831, 32, 46, 47syl12anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )
4926proplem 13917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( +g  `  K ) w )  =  ( v ( +g  `  L ) w ) )
5031, 33, 40, 49syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
v ( +g  `  K
) w )  =  ( v ( +g  `  L ) w ) )
5150oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )
5248, 51eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )
5344, 52eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  <->  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) )
5436, 53anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( ( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )  <->  ( (
u ( +g  `  L
) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
5554ralbidva 2723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  ->  ( A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. w  e.  B  ( ( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
56552ralbidva 2747 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
573adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  B  =  ( Base `  K )
)
5857eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( (
u ( +g  `  K
) v )  e.  B  <->  ( u ( +g  `  K ) v )  e.  (
Base `  K )
) )
5958anbi1d 687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) ) ) )
6057, 59raleqbidv 2918 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. w  e.  (
Base `  K )
( ( u ( +g  `  K ) v )  e.  (
Base `  K )  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) ) ) ) )
6157, 60raleqbidv 2918 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. v  e.  (
Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K ) ( ( u ( +g  `  K ) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) ) ) )
6257, 61raleqbidv 2918 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. u  e.  (
Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K ) ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) ) ) )
6317adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  B  =  ( Base `  L )
)
6463eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( (
u ( +g  `  L
) v )  e.  B  <->  ( u ( +g  `  L ) v )  e.  (
Base `  L )
) )
6564anbi1d 687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( (
( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )  <->  ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
6663, 65raleqbidv 2918 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )  <->  A. w  e.  (
Base `  L )
( ( u ( +g  `  L ) v )  e.  (
Base `  L )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
6763, 66raleqbidv 2918 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )  <->  A. v  e.  (
Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L ) ( ( u ( +g  `  L ) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
6863, 67raleqbidv 2918 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )  <->  A. u  e.  (
Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L ) ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
6956, 62, 683bitr3d 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
70 simplll 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  ph )
71 simplr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  s  e.  B )
72 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  u  e.  B )
7326proplem 13917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  u  e.  B ) )  -> 
( s ( +g  `  K ) u )  =  ( s ( +g  `  L ) u ) )
7470, 71, 72, 73syl12anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
s ( +g  `  K
) u )  =  ( s ( +g  `  L ) u ) )
7574eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
( s ( +g  `  K ) u )  =  u  <->  ( s
( +g  `  L ) u )  =  u ) )
7626proplem 13917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  s  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) s )  =  ( u ( +g  `  L ) s ) )
7770, 72, 71, 76syl12anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) s )  =  ( u ( +g  `  L ) s ) )
7877eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) s )  =  u  <->  ( u
( +g  `  L ) s )  =  u ) )
7975, 78anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
( ( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K ) s )  =  u )  <->  ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8079ralbidva 2723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  ->  ( A. u  e.  B  ( ( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K ) s )  =  u )  <->  A. u  e.  B  ( ( s ( +g  `  L ) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L ) s )  =  u ) ) )
8180rexbidva 2724 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( E. s  e.  B  A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  K
) s )  =  u )  <->  E. s  e.  B  A. u  e.  B  ( (
s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8257raleqdv 2912 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  K
) s )  =  u )  <->  A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u ) ) )
8357, 82rexeqbidv 2919 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( E. s  e.  B  A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  K
) s )  =  u )  <->  E. s  e.  ( Base `  K
) A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u ) ) )
8463raleqdv 2912 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  L ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  L
) s )  =  u )  <->  A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8563, 84rexeqbidv 2919 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( E. s  e.  B  A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  L ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  L
) s )  =  u )  <->  E. s  e.  ( Base `  L
) A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8681, 83, 853bitr3d 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( E. s  e.  ( Base `  K ) A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u )  <->  E. s  e.  ( Base `  L
) A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8769, 86anbi12d 693 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( ( A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )  /\  E. s  e.  ( Base `  K
) A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u ) )  <->  ( A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) )  /\  E. s  e.  ( Base `  L
) A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) ) )
888, 9ismnd 14694 . . . 4  |-  ( K  e.  Mnd  <->  ( A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )  /\  E. s  e.  ( Base `  K
) A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u ) ) )
8922, 23ismnd 14694 . . . 4  |-  ( L  e.  Mnd  <->  ( A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) )  /\  E. s  e.  ( Base `  L
) A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
9087, 88, 893bitr4g 281 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( K  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) )
9190ex 425 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( +g  `  K ) y )  e.  B  ->  ( K  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) ) )
9214, 30, 91pm5.21ndd 345 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   Mndcmnd 14686
This theorem is referenced by:  mndprop  14725  mhmpropd  14746  grppropd  14825  oppgmndb  15153  cmnpropd  15423  rngpropd  15697  prdsrngd  15720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-nul 4340  ax-pow 4379
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-iota 5420  df-fv 5464  df-ov 6086  df-mnd 14692
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