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Theorem mndpropd 14414
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a monoid iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
mndpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
mndpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mndpropd  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    ph, x, y    x, L, y

Proof of Theorem mndpropd
Dummy variables  u  s  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  K  e.  Mnd )
2 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
3 mndpropd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
43ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  B  =  ( Base `  K )
)
52, 4eleqtrd 2372 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ( Base `  K )
)
6 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
76, 4eleqtrd 2372 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
8 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
9 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
108, 9mndcl 14388 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  ( Base `  K
) )
111, 5, 7, 10syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  (
Base `  K )
)
1211, 4eleqtrrd 2373 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
1312ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  Mnd )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
1413ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( +g  `  K ) y )  e.  B ) )
15 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  L  e.  Mnd )
16 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
17 mndpropd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
1817ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  B  =  ( Base `  L )
)
1916, 18eleqtrd 2372 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ( Base `  L )
)
20 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
2120, 18eleqtrd 2372 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  L )
)
22 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
23 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
2422, 23mndcl 14388 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  L )  /\  y  e.  ( Base `  L
) )  ->  (
x ( +g  `  L
) y )  e.  ( Base `  L
) )
2515, 19, 21, 24syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  L ) y )  e.  (
Base `  L )
)
26 mndpropd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
2726adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L
) y ) )
2827, 18eleq12d 2364 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B  <->  ( x ( +g  `  L ) y )  e.  (
Base `  L )
) )
2925, 28mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
3029ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( (
ph  /\  L  e.  Mnd )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
3130ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( +g  `  K ) y )  e.  B ) )
32 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  ph )
33 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  u  e.  B )
34 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  v  e.  B )
3526proplem 13608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) v )  =  ( u ( +g  `  L ) v ) )
3632, 33, 34, 35syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) v )  =  ( u ( +g  `  L ) v ) )
3736eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  <->  ( u
( +g  `  L ) v )  e.  B
) )
38 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
39 proplem2 13607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  K ) v )  e.  B
)
4033, 34, 38, 39syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) v )  e.  B )
41 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  w  e.  B )
4226proplem 13608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v )  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  L ) w ) )
4332, 40, 41, 42syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  L ) w ) )
4436oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w ) )
4543, 44eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w ) )
46 proplem2 13607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  B  /\  w  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( v
( +g  `  K ) w )  e.  B
)
4734, 41, 38, 46syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
v ( +g  `  K
) w )  e.  B )
4826proplem 13608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  (
v ( +g  `  K
) w )  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )
4932, 33, 47, 48syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )
5026proplem 13608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( +g  `  K ) w )  =  ( v ( +g  `  L ) w ) )
5132, 34, 41, 50syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
v ( +g  `  K
) w )  =  ( v ( +g  `  L ) w ) )
5251oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )
5349, 52eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )
5445, 53eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  <->  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) )
5537, 54anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( ( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )  <->  ( (
u ( +g  `  L
) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
5655ralbidva 2572 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  ->  ( A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. w  e.  B  ( ( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
57562ralbidva 2596 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
583adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  B  =  ( Base `  K )
)
5958eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( (
u ( +g  `  K
) v )  e.  B  <->  ( u ( +g  `  K ) v )  e.  (
Base `  K )
) )
6059anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) ) ) )
6158, 60raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. w  e.  (
Base `  K )
( ( u ( +g  `  K ) v )  e.  (
Base `  K )  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) ) ) ) )
6258, 61raleqbidv 2761 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. v  e.  (
Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K ) ( ( u ( +g  `  K ) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) ) ) )
6358, 62raleqbidv 2761 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. u  e.  (
Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K ) ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) ) ) )
6417adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  B  =  ( Base `  L )
)
6564eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( (
u ( +g  `  L
) v )  e.  B  <->  ( u ( +g  `  L ) v )  e.  (
Base `  L )
) )
6665anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( (
( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )  <->  ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
6764, 66raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )  <->  A. w  e.  (
Base `  L )
( ( u ( +g  `  L ) v )  e.  (
Base `  L )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
6864, 67raleqbidv 2761 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )  <->  A. v  e.  (
Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L ) ( ( u ( +g  `  L ) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
6964, 68raleqbidv 2761 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )  <->  A. u  e.  (
Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L ) ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
7057, 63, 693bitr3d 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
71 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  ph )
72 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  s  e.  B )
73 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  u  e.  B )
7426proplem 13608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  u  e.  B ) )  -> 
( s ( +g  `  K ) u )  =  ( s ( +g  `  L ) u ) )
7571, 72, 73, 74syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
s ( +g  `  K
) u )  =  ( s ( +g  `  L ) u ) )
7675eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
( s ( +g  `  K ) u )  =  u  <->  ( s
( +g  `  L ) u )  =  u ) )
7726proplem 13608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  s  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) s )  =  ( u ( +g  `  L ) s ) )
7871, 73, 72, 77syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) s )  =  ( u ( +g  `  L ) s ) )
7978eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) s )  =  u  <->  ( u
( +g  `  L ) s )  =  u ) )
8076, 79anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
( ( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K ) s )  =  u )  <->  ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8180ralbidva 2572 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  ->  ( A. u  e.  B  ( ( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K ) s )  =  u )  <->  A. u  e.  B  ( ( s ( +g  `  L ) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L ) s )  =  u ) ) )
8281rexbidva 2573 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( E. s  e.  B  A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  K
) s )  =  u )  <->  E. s  e.  B  A. u  e.  B  ( (
s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8358raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  K
) s )  =  u )  <->  A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u ) ) )
8458, 83rexeqbidv 2762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( E. s  e.  B  A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  K
) s )  =  u )  <->  E. s  e.  ( Base `  K
) A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u ) ) )
8564raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  L ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  L
) s )  =  u )  <->  A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8664, 85rexeqbidv 2762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( E. s  e.  B  A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  L ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  L
) s )  =  u )  <->  E. s  e.  ( Base `  L
) A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8782, 84, 863bitr3d 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( E. s  e.  ( Base `  K ) A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u )  <->  E. s  e.  ( Base `  L
) A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8870, 87anbi12d 691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( ( A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )  /\  E. s  e.  ( Base `  K
) A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u ) )  <->  ( A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) )  /\  E. s  e.  ( Base `  L
) A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) ) )
898, 9ismnd 14385 . . . 4  |-  ( K  e.  Mnd  <->  ( A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )  /\  E. s  e.  ( Base `  K
) A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u ) ) )
9022, 23ismnd 14385 . . . 4  |-  ( L  e.  Mnd  <->  ( A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) )  /\  E. s  e.  ( Base `  L
) A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
9188, 89, 903bitr4g 279 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( K  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) )
9291ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( +g  `  K ) y )  e.  B  ->  ( K  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) ) )
9314, 31, 92pm5.21ndd 343 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Mndcmnd 14377
This theorem is referenced by:  mndprop  14416  mhmpropd  14437  grppropd  14516  oppgmndb  14844  cmnpropd  15114  rngpropd  15388  prdsrngd  15411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165  ax-pow 4204
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-mnd 14383
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