Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mndvass Unicode version

Theorem mndvass 27109
Description: Tuple-wise associativity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mndvcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
mndvass  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( X  o F  .+  Y )  o F  .+  Z )  =  ( X  o F  .+  ( Y  o F  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem mndvass
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 6966 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
21simprd 450 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
323ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  I  e.  _V )
43adantl 453 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  ->  I  e.  _V )
5 elmapi 6967 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
653ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  X : I --> B )
76adantl 453 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  ->  X : I --> B )
8 elmapi 6967 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  Y : I --> B )
983ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  Y : I --> B )
109adantl 453 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  ->  Y : I --> B )
11 elmapi 6967 . . . 4  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  I )  ->  Z : I --> B )
12113ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  Z : I --> B )
1312adantl 453 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  ->  Z : I --> B )
14 mndvcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
15 mndvcl.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
1614, 15mndass 14616 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
1716adantlr 696 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I ) ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
184, 7, 10, 13, 17caofass 6270 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( X  o F  .+  Y )  o F  .+  Z )  =  ( X  o F  .+  ( Y  o F  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    o Fcof 6235    ^m cmap 6947   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   Mndcmnd 14604
This theorem is referenced by:  mendrng  27162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-map 6949  df-mnd 14610
  Copyright terms: Public domain W3C validator