Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mndvcl Structured version   Unicode version

Theorem mndvcl 27404
Description: Tuple-wise additive closure in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mndvcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
mndvcl  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  o F  .+  Y
)  e.  ( B  ^m  I ) )

Proof of Theorem mndvcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndvcl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 mndvcl.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  M )
31, 2mndcl 14687 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
433expb 1154 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
543ad2antl1 1119 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
6 elmapi 7030 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
763ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  X : I --> B )
8 elmapi 7030 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  Y : I --> B )
983ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  Y : I --> B )
10 elmapex 7029 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
1110simprd 450 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
12113ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  I  e.  _V )
13 inidm 3542 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
145, 7, 9, 12, 12, 13off 6312 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  o F  .+  Y
) : I --> B )
15 fvex 5734 . . . 4  |-  ( Base `  M )  e.  _V
161, 15eqeltri 2505 . . 3  |-  B  e. 
_V
17 elmapg 7023 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V )  ->  ( ( X  o F  .+  Y )  e.  ( B  ^m  I
)  <->  ( X  o F  .+  Y ) : I --> B ) )
1816, 12, 17sylancr 645 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  (
( X  o F 
.+  Y )  e.  ( B  ^m  I
)  <->  ( X  o F  .+  Y ) : I --> B ) )
1914, 18mpbird 224 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  o F  .+  Y
)  e.  ( B  ^m  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    ^m cmap 7010   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   Mndcmnd 14676
This theorem is referenced by:  rngvcl  27411  mamudi  27419  mamudir  27420
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-mnd 14682
  Copyright terms: Public domain W3C validator