Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mndvcl Unicode version

Theorem mndvcl 27115
Description: Tuple-wise additive closure in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mndvcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
mndvcl  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  o F  .+  Y
)  e.  ( B  ^m  I ) )

Proof of Theorem mndvcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndvcl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 mndvcl.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  M )
31, 2mndcl 14622 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
433expb 1154 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
543ad2antl1 1119 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
6 elmapi 6974 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
763ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  X : I --> B )
8 elmapi 6974 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  Y : I --> B )
983ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  Y : I --> B )
10 elmapex 6973 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
1110simprd 450 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
12113ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  I  e.  _V )
13 inidm 3493 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
145, 7, 9, 12, 12, 13off 6259 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  o F  .+  Y
) : I --> B )
15 fvex 5682 . . . 4  |-  ( Base `  M )  e.  _V
161, 15eqeltri 2457 . . 3  |-  B  e. 
_V
17 elmapg 6967 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V )  ->  ( ( X  o F  .+  Y )  e.  ( B  ^m  I
)  <->  ( X  o F  .+  Y ) : I --> B ) )
1816, 12, 17sylancr 645 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  (
( X  o F 
.+  Y )  e.  ( B  ^m  I
)  <->  ( X  o F  .+  Y ) : I --> B ) )
1914, 18mpbird 224 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  o F  .+  Y
)  e.  ( B  ^m  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    o Fcof 6242    ^m cmap 6954   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   Mndcmnd 14611
This theorem is referenced by:  rngvcl  27122  mamudi  27130  mamudir  27131
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-map 6956  df-mnd 14617
  Copyright terms: Public domain W3C validator