Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mndvcl Unicode version

Theorem mndvcl 27549
Description: Tuple-wise additive closure in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mndvcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
mndvcl  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  o F  .+  Y
)  e.  ( B  ^m  I ) )

Proof of Theorem mndvcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndvcl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 mndvcl.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  M )
31, 2mndcl 14388 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
433expb 1152 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
543ad2antl1 1117 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
6 elmapi 6808 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
763ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  X : I --> B )
8 elmapi 6808 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  Y : I --> B )
983ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  Y : I --> B )
10 elmapex 6807 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
1110simprd 449 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
12113ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  I  e.  _V )
13 inidm 3391 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
145, 7, 9, 12, 12, 13off 6109 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  o F  .+  Y
) : I --> B )
15 fvex 5555 . . . 4  |-  ( Base `  M )  e.  _V
161, 15eqeltri 2366 . . 3  |-  B  e. 
_V
17 elmapg 6801 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V )  ->  ( ( X  o F  .+  Y )  e.  ( B  ^m  I
)  <->  ( X  o F  .+  Y ) : I --> B ) )
1816, 12, 17sylancr 644 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  (
( X  o F 
.+  Y )  e.  ( B  ^m  I
)  <->  ( X  o F  .+  Y ) : I --> B ) )
1914, 18mpbird 223 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  o F  .+  Y
)  e.  ( B  ^m  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Mndcmnd 14377
This theorem is referenced by:  rngvcl  27556  mamudi  27564  mamudir  27565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-mnd 14383
  Copyright terms: Public domain W3C validator