Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mndvlid Structured version   Unicode version

Theorem mndvlid 27427
Description: Tuple-wise left identity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mndvcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
mndvlid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
Assertion
Ref Expression
mndvlid  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  -> 
( ( I  X.  {  .0.  } )  o F  .+  X )  =  X )

Proof of Theorem mndvlid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 7039 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
21simprd 451 . . 3  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
32adantl 454 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  I  e.  _V )
4 elmapi 7040 . . 3  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
54adantl 454 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  X : I --> B )
6 mndvcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
7 mndvlid.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
86, 7mndidcl 14716 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
98adantr 453 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  .0.  e.  B )
10 mndvcl.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
116, 10, 7mndlid 14718 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x
)  =  x )
1211adantlr 697 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  /\  x  e.  B
)  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
133, 5, 9, 12caofid0l 6334 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  -> 
( ( I  X.  {  .0.  } )  o F  .+  X )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   {csn 3816    X. cxp 4878   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305    ^m cmap 7020   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725   Mndcmnd 14686
This theorem is referenced by:  mendrng  27479
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-map 7022  df-0g 13729  df-mnd 14692
  Copyright terms: Public domain W3C validator