Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mndvrid Structured version   Unicode version

Theorem mndvrid 27427
Description: Tuple-wise right identity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mndvcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
mndvlid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
Assertion
Ref Expression
mndvrid  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  -> 
( X  o F 
.+  ( I  X.  {  .0.  } ) )  =  X )

Proof of Theorem mndvrid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 7038 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
21simprd 451 . . 3  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
32adantl 454 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  I  e.  _V )
4 elmapi 7039 . . 3  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
54adantl 454 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  X : I --> B )
6 mndvcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
7 mndvlid.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
86, 7mndidcl 14715 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
98adantr 453 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  .0.  e.  B )
10 mndvcl.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
116, 10, 7mndrid 14718 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  ( x  .+  .0.  )  =  x )
1211adantlr 697 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  .+  .0.  )  =  x )
133, 5, 9, 12caofid0r 6334 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I ) )  -> 
( X  o F 
.+  ( I  X.  {  .0.  } ) )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957   {csn 3815    X. cxp 4877   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    o Fcof 6304    ^m cmap 7019   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   0gc0g 13724   Mndcmnd 14685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-map 7021  df-0g 13728  df-mnd 14691
  Copyright terms: Public domain W3C validator