MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfle Unicode version

Theorem mnfle 10470
Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
mnfle  |-  ( A  e.  RR*  ->  -oo  <_  A )

Proof of Theorem mnfle
StepHypRef Expression
1 nltmnf 10468 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  -.  A  <  -oo )
2 mnfxr 10456 . . 3  |-  -oo  e.  RR*
3 xrlenlt 8890 . . 3  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (  -oo  <_  A  <->  -.  A  <  -oo ) )
42, 3mpan 651 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  (  -oo  <_  A  <->  -.  A  <  -oo ) )
51, 4mpbird 223 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  -oo  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  ngtmnft  10496  xrre2  10499  xleadd1a  10573  xlt2add  10580  xsubge0  10581  xlesubadd  10583  xlemul1a  10608  supxrmnf  10636  elioc2  10713  iccmax  10725  xrsdsreclblem  16417  leordtvallem2  16941  lecldbas  16949  tgioo  18302  xrtgioo  18312  ioombl  18922  ismbfd  18995  degltlem1  19458  ply1rem  19549  xrdifh  23273  oisbmi  25503  oibbi2  25510  hbtlem2  27328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator