MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfle Structured version   Unicode version

Theorem mnfle 10722
Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
mnfle  |-  ( A  e.  RR*  ->  -oo  <_  A )

Proof of Theorem mnfle
StepHypRef Expression
1 nltmnf 10719 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  -.  A  <  -oo )
2 mnfxr 10707 . . 3  |-  -oo  e.  RR*
3 xrlenlt 9136 . . 3  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (  -oo  <_  A  <->  -.  A  <  -oo ) )
42, 3mpan 652 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  (  -oo  <_  A  <->  -.  A  <  -oo ) )
51, 4mpbird 224 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  -oo  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1725   class class class wbr 4205    -oocmnf 9111   RR*cxr 9112    < clt 9113    <_ cle 9114
This theorem is referenced by:  ngtmnft  10748  xrre2  10751  xleadd1a  10825  xlt2add  10832  xsubge0  10833  xlesubadd  10835  xlemul1a  10860  supxrmnf  10889  elioc2  10966  iccmax  10979  xrsdsreclblem  16737  leordtvallem2  17268  lecldbas  17276  tgioo  18820  xrtgioo  18830  ioombl  19452  ismbfd  19525  degltlem1  19988  ply1rem  20079  xrdifh  24136  tpr2rico  24303  itg2gt0cn  26251  hbtlem2  27297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119
  Copyright terms: Public domain W3C validator