MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfle Unicode version

Theorem mnfle 10486
Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
mnfle  |-  ( A  e.  RR*  ->  -oo  <_  A )

Proof of Theorem mnfle
StepHypRef Expression
1 nltmnf 10484 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  -.  A  <  -oo )
2 mnfxr 10472 . . 3  |-  -oo  e.  RR*
3 xrlenlt 8906 . . 3  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (  -oo  <_  A  <->  -.  A  <  -oo ) )
42, 3mpan 651 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  (  -oo  <_  A  <->  -.  A  <  -oo ) )
51, 4mpbird 223 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  -oo  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  ngtmnft  10512  xrre2  10515  xleadd1a  10589  xlt2add  10596  xsubge0  10597  xlesubadd  10599  xlemul1a  10624  supxrmnf  10652  elioc2  10729  iccmax  10741  xrsdsreclblem  16433  leordtvallem2  16957  lecldbas  16965  tgioo  18318  xrtgioo  18328  ioombl  18938  ismbfd  19011  degltlem1  19474  ply1rem  19565  xrdifh  23288  itg2gt0cn  25006  oisbmi  25606  oibbi2  25613  hbtlem2  27431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889
  Copyright terms: Public domain W3C validator