MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnflt Unicode version

Theorem mnflt 10480
Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnflt  |-  ( A  e.  RR  ->  -oo  <  A )

Proof of Theorem mnflt
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  -oo  =  -oo
2 olc 373 . . . 4  |-  ( ( 
-oo  =  -oo  /\  A  e.  RR )  ->  ( (  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) )
31, 2mpan 651 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) )
43olcd 382 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( (  -oo  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  -oo  <RR  A )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  =  +oo ) )  \/  ( (  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) ) )
5 mnfxr 10472 . . 3  |-  -oo  e.  RR*
6 rexr 8893 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
7 ltxr 10473 . . 3  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (  -oo  <  A  <->  ( (
( (  -oo  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  -oo  <RR  A )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  =  +oo ) )  \/  (
(  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) ) ) )
85, 6, 7sylancr 644 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (  -oo  <  A  <->  ( (
( (  -oo  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  -oo  <RR  A )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  =  +oo ) )  \/  (
(  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) ) ) )
94, 8mpbird 223 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -oo  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   RRcr 8752    <RR cltrr 8757    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883
This theorem is referenced by:  mnfltxr  10482  xrlttri  10489  xrlttr  10490  xrrebnd  10513  xrre3  10516  ge0gtmnf  10517  qbtwnxr  10543  xltnegi  10559  xsubge0  10597  xrsupsslem  10641  xrub  10646  supxrre  10662  infmxrre  10670  elico2  10730  elicc2  10731  ioomax  10740  elioomnf  10754  difreicc  10783  caucvgrlem  12161  leordtval2  16958  mnfnei  16967  icopnfcld  18293  iocmnfcld  18294  tgioo  18318  xrtgioo  18328  reconnlem1  18347  reconnlem2  18348  bndth  18472  ovoliunlem1  18877  ovoliun  18880  ovolicopnf  18899  voliunlem3  18925  volsup  18929  ioombl1lem2  18932  volivth  18978  mbfmax  19020  ismbf3d  19025  itg2seq  19113  itg2monolem2  19122  dvferm1lem  19347  dvferm2lem  19349  degltlem1  19474  deg1lt0  19493  ply1divex  19538  dvdsq1p  19562  plypf1  19610  ellogdm  20002  logdmnrp  20004  atans2  20243  xrre3FL  23266  tpr2rico  23311  xrge00  23326  xrge0iifcnv  23330  xrge0neqmnf  23345  xrge0adddir  23347  fsumrp0cl  23349  lmlimxrge0  23387  rge0scvg  23388  lmdvg  23391  esumpfinvallem  23457  esumpfinval  23458  esumpfinvalf  23459  esumpcvgval  23461  esumcvg  23469  dya2iocbrsiga  23593  orvclteel  23688  itg2addnclem  25003  dvreasin  25026  areacirclem6  25033  truni3  25610  hbtlem5  27435  rfcnpre4  27808  sgnmnf  28506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888
  Copyright terms: Public domain W3C validator