MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnflt Structured version   Unicode version

Theorem mnflt 10727
Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnflt  |-  ( A  e.  RR  ->  -oo  <  A )

Proof of Theorem mnflt
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  -oo  =  -oo
2 olc 375 . . . 4  |-  ( ( 
-oo  =  -oo  /\  A  e.  RR )  ->  ( (  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) )
31, 2mpan 653 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) )
43olcd 384 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( (  -oo  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  -oo  <RR  A )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  =  +oo ) )  \/  ( (  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) ) )
5 mnfxr 10719 . . 3  |-  -oo  e.  RR*
6 rexr 9135 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
7 ltxr 10720 . . 3  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (  -oo  <  A  <->  ( (
( (  -oo  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  -oo  <RR  A )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  =  +oo ) )  \/  (
(  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) ) ) )
85, 6, 7sylancr 646 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (  -oo  <  A  <->  ( (
( (  -oo  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  -oo  <RR  A )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  =  +oo ) )  \/  (
(  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) ) ) )
94, 8mpbird 225 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -oo  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   RRcr 8994    <RR cltrr 8999    +oocpnf 9122    -oocmnf 9123   RR*cxr 9124    < clt 9125
This theorem is referenced by:  mnfltxr  10729  xrlttri  10737  xrlttr  10738  xrrebnd  10761  xrre3  10764  ge0gtmnf  10765  qbtwnxr  10791  xltnegi  10807  xsubge0  10845  xrsupsslem  10890  xrub  10895  supxrre  10911  infmxrre  10919  elico2  10979  elicc2  10980  ioomax  10990  elioomnf  11004  difreicc  11033  caucvgrlem  12471  leordtval2  17281  mnfnei  17290  icopnfcld  18807  iocmnfcld  18808  tgioo  18832  xrtgioo  18842  reconnlem1  18862  reconnlem2  18863  bndth  18988  ovoliunlem1  19403  ovoliun  19406  ovolicopnf  19425  voliunlem3  19451  volsup  19455  ioombl1lem2  19458  volivth  19504  mbfmax  19544  ismbf3d  19549  itg2seq  19637  itg2monolem2  19646  dvferm1lem  19873  dvferm2lem  19875  degltlem1  20000  deg1lt0  20019  ply1divex  20064  dvdsq1p  20088  plypf1  20136  ellogdm  20535  logdmnrp  20537  atans2  20776  xrge00  24213  xrge0neqmnf  24217  xrge0adddir  24220  fsumrp0cl  24222  xrge0iifcnv  24324  lmlimxrge0  24339  rge0scvg  24340  lmdvg  24343  esumfsupre  24466  esumpfinvallem  24469  esumpfinval  24470  esumpfinvalf  24471  esumpcvgval  24473  esumcvg  24481  dya2iocbrsiga  24630  dya2icobrsiga  24631  orvclteel  24735  itg2addnclem  26270  dvreasin  26304  areacirclem5  26310  hbtlem5  27323  rfcnpre4  27695  sgnmnf  28599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-xp 4887  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130
  Copyright terms: Public domain W3C validator