MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnflt Unicode version

Theorem mnflt 10464
Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnflt  |-  ( A  e.  RR  ->  -oo  <  A )

Proof of Theorem mnflt
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  -oo  =  -oo
2 olc 373 . . . 4  |-  ( ( 
-oo  =  -oo  /\  A  e.  RR )  ->  ( (  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) )
31, 2mpan 651 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) )
43olcd 382 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( (  -oo  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  -oo  <RR  A )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  =  +oo ) )  \/  ( (  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) ) )
5 mnfxr 10456 . . 3  |-  -oo  e.  RR*
6 rexr 8877 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
7 ltxr 10457 . . 3  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (  -oo  <  A  <->  ( (
( (  -oo  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  -oo  <RR  A )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  =  +oo ) )  \/  (
(  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) ) ) )
85, 6, 7sylancr 644 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (  -oo  <  A  <->  ( (
( (  -oo  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  -oo  <RR  A )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  =  +oo ) )  \/  (
(  -oo  e.  RR  /\  A  =  +oo )  \/  (  -oo  =  -oo  /\  A  e.  RR ) ) ) ) )
94, 8mpbird 223 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -oo  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736    <RR cltrr 8741    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867
This theorem is referenced by:  mnfltxr  10466  xrlttri  10473  xrlttr  10474  xrrebnd  10497  xrre3  10500  ge0gtmnf  10501  qbtwnxr  10527  xltnegi  10543  xsubge0  10581  xrsupsslem  10625  xrub  10630  supxrre  10646  infmxrre  10654  elico2  10714  elicc2  10715  ioomax  10724  elioomnf  10738  difreicc  10767  caucvgrlem  12145  leordtval2  16942  mnfnei  16951  icopnfcld  18277  iocmnfcld  18278  tgioo  18302  xrtgioo  18312  reconnlem1  18331  reconnlem2  18332  bndth  18456  ovoliunlem1  18861  ovoliun  18864  ovolicopnf  18883  voliunlem3  18909  volsup  18913  ioombl1lem2  18916  volivth  18962  mbfmax  19004  ismbf3d  19009  itg2seq  19097  itg2monolem2  19106  dvferm1lem  19331  dvferm2lem  19333  degltlem1  19458  deg1lt0  19477  ply1divex  19522  dvdsq1p  19546  plypf1  19594  ellogdm  19986  logdmnrp  19988  atans2  20227  xrre3FL  23251  tpr2rico  23296  xrge00  23311  xrge0iifcnv  23315  xrge0neqmnf  23330  xrge0adddir  23332  fsumrp0cl  23334  lmlimxrge0  23372  rge0scvg  23373  lmdvg  23376  esumpfinvallem  23442  esumpfinval  23443  esumpfinvalf  23444  esumpcvgval  23446  esumcvg  23454  dya2iocbrsiga  23578  orvclteel  23673  dvreasin  24923  areacirclem6  24930  truni3  25507  hbtlem5  27332  rfcnpre4  27705  sgnmnf  28252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872
  Copyright terms: Public domain W3C validator