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Theorem mnfnei 17243
Description: A neighborhood of  -oo contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
mnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem mnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2408 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )
2 eqid 2408 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
3 eqid 2408 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 17235 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2472 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 16989 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  -oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  -oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3452 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3452 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 2923 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )
1110elrnmpt 5080 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
) )
129, 11ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
)
13 nltmnf 10686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  <  -oo )
14 pnfxr 10673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  +oo  e.  RR*
15 elioc1 10918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (  -oo  e.  ( y (,] 
+oo )  <->  (  -oo  e.  RR*  /\  y  <  -oo  /\  -oo  <_  +oo )
) )
1614, 15mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  -oo  e.  ( y (,]  +oo ) 
<->  (  -oo  e.  RR*  /\  y  <  -oo  /\  -oo 
<_  +oo ) ) )
17 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  <  -oo  /\  -oo  <_  +oo )  ->  y  <  -oo )
1816, 17syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  -oo  e.  ( y (,]  +oo )  ->  y  <  -oo ) )
1913, 18mtod 170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  -oo  e.  ( y (,]  +oo ) )
20 eleq2 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  (  -oo  e.  u  <->  -oo  e.  ( y (,]  +oo )
) )
2120notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  ( -.  -oo  e.  u  <->  -.  -oo  e.  ( y (,]  +oo ) ) )
2219, 21syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  -.  -oo 
e.  u ) )
2322rexlimiv 2788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  -.  -oo 
e.  u )
2423pm2.21d 100 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  (  -oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
2524adantrd 455 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  (
(  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x ) 
C_  A ) )
2612, 25sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  -> 
( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
27 eqid 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
2827elrnmpt 5080 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) ) )
299, 28ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) )
30 mnfxr 10674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  e.  RR*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  e.  RR* )
32 0xr 9091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
33 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  y  e.  RR* )
34 ifcl 3739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3532, 33, 34sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3614a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
37 0re 9051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
38 mnflt 10682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  <  0
40 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  e.  u )
41 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  u  =  (  -oo [,) y
) )
4240, 41eleqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  e.  (  -oo [,) y ) )
43 elico1 10919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -oo  e.  (  -oo [,) y )  <->  (  -oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  -oo 
/\  -oo  <  y ) ) )
4430, 33, 43sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo  e.  (  -oo [,) y )  <->  (  -oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  -oo 
/\  -oo  <  y ) ) )
4542, 44mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  -oo 
/\  -oo  <  y ) )
4645simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  <  y )
47 breq2 4180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
(  -oo  <  0  <->  -oo 
<  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y ) ) )
48 breq2 4180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
(  -oo  <  y  <->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
4947, 48ifboth 3734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  <  0  /\  -oo  <  y )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
5039, 46, 49sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
5132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  0  e.  RR* )
52 xrmin1 10725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
5332, 33, 52sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
54 ltpnf 10681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
5537, 54mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  0  <  +oo )
5635, 51, 36, 53, 55xrlelttrd 10710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <  +oo )
57 xrre2 10718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  if (
0  <_  y , 
0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <  +oo ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR )
5831, 35, 36, 50, 56, 57syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR )
59 xrmin2 10726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
6032, 33, 59sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
61 df-ico 10882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
62 xrltletr 10707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y , 
0 ,  y )  <_  y )  ->  x  <  y ) )
6361, 61, 62ixxss2 10895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )  ->  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  (  -oo [,) y ) )
6433, 60, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  (  -oo [,) y ) )
65 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  u  C_  A )
6641, 65eqsstr3d 3347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo [,) y )  C_  A )
6764, 66sstrd 3322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  A )
68 oveq2 6052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
(  -oo [,) x )  =  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
6968sseq1d 3339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( (  -oo [,) x )  C_  A  <->  ( 
-oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  A ) )
7069rspcev 3016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR  /\  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
7158, 67, 70syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
7271rexlimdvaa 2795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
-oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( 
-oo [,) y )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x ) 
C_  A ) )
7372com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
7429, 73sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  -> 
( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
7526, 74jaoi 369 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
768, 75sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
77 mnfnre 9088 . . . . . . . . . 10  |-  -oo  e/  RR
78 df-nel 2574 . . . . . . . . . 10  |-  (  -oo  e/  RR  <->  -.  -oo  e.  RR )
7977, 78mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  -.  -oo  e.  RR
80 elssuni 4007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
81 unirnioo 10964 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
8280, 81syl6sseqr 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
8382sseld 3311 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
-oo  e.  u  ->  -oo 
e.  RR ) )
8479, 83mtoi 171 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. 
-oo  e.  u )
8584pm2.21d 100 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
-oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A ) )
8685adantrd 455 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x ) 
C_  A ) )
8776, 86jaoi 369 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
887, 87sylbi 188 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
8988rexlimiv 2788 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x ) 
C_  A )
906, 89syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  -oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
915, 90sylanb 459 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    e/ wnel 2572   E.wrex 2671   _Vcvv 2920    u. cun 3282    C_ wss 3284   ifcif 3703   U.cuni 3979   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   ran crn 4842   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949   0cc0 8950    +oocpnf 9077    -oocmnf 9078   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081   (,)cioo 10876   (,]cioc 10877   [,)cico 10878   topGenctg 13624  ordTopcordt 13680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-topgen 13626  df-ordt 13684  df-ps 14588  df-tsr 14589  df-top 16922  df-bases 16924
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