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Theorem mnfnei 17290
Description: A neighborhood of  -oo contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
mnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem mnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
3 eqid 2438 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 17282 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2502 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 17035 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  -oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  -oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3490 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3490 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )
1110elrnmpt 5120 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
)
13 nltmnf 10731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  <  -oo )
14 pnfxr 10718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  +oo  e.  RR*
15 elioc1 10963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (  -oo  e.  ( y (,] 
+oo )  <->  (  -oo  e.  RR*  /\  y  <  -oo  /\  -oo  <_  +oo )
) )
1614, 15mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  -oo  e.  ( y (,]  +oo ) 
<->  (  -oo  e.  RR*  /\  y  <  -oo  /\  -oo 
<_  +oo ) ) )
17 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  <  -oo  /\  -oo  <_  +oo )  ->  y  <  -oo )
1816, 17syl6bi 221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  -oo  e.  ( y (,]  +oo )  ->  y  <  -oo ) )
1913, 18mtod 171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  -oo  e.  ( y (,]  +oo ) )
20 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  (  -oo  e.  u  <->  -oo  e.  ( y (,]  +oo )
) )
2120notbid 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  ( -.  -oo  e.  u  <->  -.  -oo  e.  ( y (,]  +oo ) ) )
2219, 21syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  -.  -oo 
e.  u ) )
2322rexlimiv 2826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  -.  -oo 
e.  u )
2423pm2.21d 101 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  (  -oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
2524adantrd 456 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  (
(  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x ) 
C_  A ) )
2612, 25sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  -> 
( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
27 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
2827elrnmpt 5120 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) ) )
299, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) )
30 mnfxr 10719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  e.  RR*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  e.  RR* )
32 0xr 9136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
33 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  y  e.  RR* )
34 ifcl 3777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3532, 33, 34sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3614a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
37 0re 9096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
38 mnflt 10727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  <  0
40 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  e.  u )
41 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  u  =  (  -oo [,) y
) )
4240, 41eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  e.  (  -oo [,) y ) )
43 elico1 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -oo  e.  (  -oo [,) y )  <->  (  -oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  -oo 
/\  -oo  <  y ) ) )
4430, 33, 43sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo  e.  (  -oo [,) y )  <->  (  -oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  -oo 
/\  -oo  <  y ) ) )
4542, 44mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  -oo 
/\  -oo  <  y ) )
4645simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  <  y )
47 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
(  -oo  <  0  <->  -oo 
<  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y ) ) )
48 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
(  -oo  <  y  <->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
4947, 48ifboth 3772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  <  0  /\  -oo  <  y )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
5039, 46, 49sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
5132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  0  e.  RR* )
52 xrmin1 10770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
5332, 33, 52sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
54 ltpnf 10726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
5537, 54mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  0  <  +oo )
5635, 51, 36, 53, 55xrlelttrd 10755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <  +oo )
57 xrre2 10763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  if (
0  <_  y , 
0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <  +oo ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR )
5831, 35, 36, 50, 56, 57syl32anc 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR )
59 xrmin2 10771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
6032, 33, 59sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
61 df-ico 10927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
62 xrltletr 10752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y , 
0 ,  y )  <_  y )  ->  x  <  y ) )
6361, 61, 62ixxss2 10940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )  ->  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  (  -oo [,) y ) )
6433, 60, 63syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  (  -oo [,) y ) )
65 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  u  C_  A )
6641, 65eqsstr3d 3385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo [,) y )  C_  A )
6764, 66sstrd 3360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  A )
68 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
(  -oo [,) x )  =  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
6968sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( (  -oo [,) x )  C_  A  <->  ( 
-oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  A ) )
7069rspcev 3054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR  /\  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
7158, 67, 70syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
7271rexlimdvaa 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
-oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( 
-oo [,) y )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x ) 
C_  A ) )
7372com12 30 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
7429, 73sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  -> 
( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
7526, 74jaoi 370 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
768, 75sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
77 mnfnre 9133 . . . . . . . . . 10  |-  -oo  e/  RR
7877neli 2699 . . . . . . . . 9  |-  -.  -oo  e.  RR
79 elssuni 4045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
80 unirnioo 11009 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
8179, 80syl6sseqr 3397 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
8281sseld 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
-oo  e.  u  ->  -oo 
e.  RR ) )
8378, 82mtoi 172 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. 
-oo  e.  u )
8483pm2.21d 101 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
-oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A ) )
8584adantrd 456 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x ) 
C_  A ) )
8676, 85jaoi 370 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
877, 86sylbi 189 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
8887rexlimiv 2826 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x ) 
C_  A )
896, 88syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  -oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
905, 89sylanb 460 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   ifcif 3741   U.cuni 4017   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995    +oocpnf 9122    -oocmnf 9123   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   (,)cioo 10921   (,]cioc 10922   [,)cico 10923   topGenctg 13670  ordTopcordt 13726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-topgen 13672  df-ordt 13730  df-ps 14634  df-tsr 14635  df-top 16968  df-bases 16970
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