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Theorem mnfnei 16951
Description: A neighborhood of  -oo contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
mnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem mnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 16943 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2347 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 16703 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  -oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  -oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3316 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3316 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )
1110elrnmpt 4926 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
) )
129, 11ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,]  +oo )
)
13 nltmnf 10468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  <  -oo )
14 pnfxr 10455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  +oo  e.  RR*
15 elioc1 10698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (  -oo  e.  ( y (,] 
+oo )  <->  (  -oo  e.  RR*  /\  y  <  -oo  /\  -oo  <_  +oo )
) )
1614, 15mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  -oo  e.  ( y (,]  +oo ) 
<->  (  -oo  e.  RR*  /\  y  <  -oo  /\  -oo 
<_  +oo ) ) )
17 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  <  -oo  /\  -oo  <_  +oo )  ->  y  <  -oo )
1816, 17syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  -oo  e.  ( y (,]  +oo )  ->  y  <  -oo ) )
1913, 18mtod 168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  -oo  e.  ( y (,]  +oo ) )
20 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  (  -oo  e.  u  <->  -oo  e.  ( y (,]  +oo )
) )
2120notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  ( -.  -oo  e.  u  <->  -.  -oo  e.  ( y (,]  +oo ) ) )
2219, 21syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  -.  -oo 
e.  u ) )
2322rexlimiv 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  -.  -oo 
e.  u )
2423pm2.21d 98 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  (  -oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
2524adantrd 454 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] 
+oo )  ->  (
(  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x ) 
C_  A ) )
2612, 25sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  -> 
( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
27 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )
2827elrnmpt 4926 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) ) )
299, 28ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( 
-oo [,) y ) )
30 mnfxr 10456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -oo  e.  RR*
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  e.  RR* )
32 0xr 8878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
33 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  y  e.  RR* )
34 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3532, 33, 34sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3614a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
37 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
38 mnflt 10464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -oo  <  0
40 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  e.  u )
41 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  u  =  (  -oo [,) y
) )
4240, 41eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  e.  (  -oo [,) y ) )
43 elico1 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -oo  e.  (  -oo [,) y )  <->  (  -oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  -oo 
/\  -oo  <  y ) ) )
4430, 33, 43sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo  e.  (  -oo [,) y )  <->  (  -oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  -oo 
/\  -oo  <  y ) ) )
4542, 44mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo  e.  RR*  /\  -oo  <_  -oo 
/\  -oo  <  y ) )
4645simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  <  y )
47 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
(  -oo  <  0  <->  -oo 
<  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y ) ) )
48 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
(  -oo  <  y  <->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
4947, 48ifboth 3596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  <  0  /\  -oo  <  y )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
5039, 46, 49sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
5132a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  0  e.  RR* )
52 xrmin1 10506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
5332, 33, 52sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
54 ltpnf 10463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
5537, 54mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  0  <  +oo )
5635, 51, 36, 53, 55xrlelttrd 10491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <  +oo )
57 xrre2 10499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  if (
0  <_  y , 
0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <  +oo ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR )
5831, 35, 36, 50, 56, 57syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR )
59 xrmin2 10507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
6032, 33, 59sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
61 df-ico 10662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
62 xrltletr 10488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y , 
0 ,  y )  <_  y )  ->  x  <  y ) )
6361, 61, 62ixxss2 10675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )  ->  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  (  -oo [,) y ) )
6433, 60, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  (  -oo [,) y ) )
65 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  u  C_  A )
6641, 65eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo [,) y )  C_  A )
6764, 66sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  A )
68 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
(  -oo [,) x )  =  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
6968sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( (  -oo [,) x )  C_  A  <->  ( 
-oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  A ) )
7069rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR  /\  (  -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
7158, 67, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  (  -oo [,) y ) ) )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
7271expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( u  =  (  -oo [,) y
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
7372rexlimdva 2667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
-oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( 
-oo [,) y )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x ) 
C_  A ) )
7473com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  (  -oo [,) y
)  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
7529, 74sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) )  -> 
( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
7626, 75jaoi 368 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  \/  u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
778, 76sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
78 mnfnre 8875 . . . . . . . . . 10  |-  -oo  e/  RR
79 df-nel 2449 . . . . . . . . . 10  |-  (  -oo  e/  RR  <->  -.  -oo  e.  RR )
8078, 79mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  -.  -oo  e.  RR
81 elssuni 3855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
82 unirnioo 10743 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
8381, 82syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
8483sseld 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
-oo  e.  u  ->  -oo 
e.  RR ) )
8580, 84mtoi 169 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. 
-oo  e.  u )
8685pm2.21d 98 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( 
-oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A ) )
8786adantrd 454 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x ) 
C_  A ) )
8877, 87jaoi 368 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
897, 88sylbi 187 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( (  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
) )
9089rexlimiv 2661 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] 
+oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
(  -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x ) 
C_  A )
916, 90syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( y  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\  -oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
925, 91sylanb 458 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\  -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  (  -oo [,) x )  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    e/ wnel 2447   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   ifcif 3565   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   (,]cioc 10657   [,)cico 10658   topGenctg 13342  ordTopcordt 13398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-topgen 13344  df-ordt 13402  df-ps 14306  df-tsr 14307  df-top 16636  df-bases 16638
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