MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfnre Structured version   Unicode version

Theorem mnfnre 9118
Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnfnre  |-  -oo  e/  RR

Proof of Theorem mnfnre
StepHypRef Expression
1 2pwuninel 7254 . . . 4  |-  -.  ~P ~P U. CC  e.  CC
2 df-mnf 9113 . . . . . 6  |-  -oo  =  ~P  +oo
3 df-pnf 9112 . . . . . . 7  |-  +oo  =  ~P U. CC
43pweqi 3795 . . . . . 6  |-  ~P  +oo  =  ~P ~P U. CC
52, 4eqtri 2455 . . . . 5  |-  -oo  =  ~P ~P U. CC
65eleq1i 2498 . . . 4  |-  (  -oo  e.  CC  <->  ~P ~P U. CC  e.  CC )
71, 6mtbir 291 . . 3  |-  -.  -oo  e.  CC
8 recn 9070 . . 3  |-  (  -oo  e.  RR  ->  -oo  e.  CC )
97, 8mto 169 . 2  |-  -.  -oo  e.  RR
10 df-nel 2601 . 2  |-  (  -oo  e/  RR  <->  -.  -oo  e.  RR )
119, 10mpbir 201 1  |-  -oo  e/  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1725    e/ wnel 2599   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   CCcc 8978   RRcr 8979    +oocpnf 9107    -oocmnf 9108
This theorem is referenced by:  renemnf  9123  ltxrlt  9136  xrltnr  10710  nltmnf  10716  hashnemnf  11618  mnfnei  17275  deg1nn0clb  20003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113
  Copyright terms: Public domain W3C validator