MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfnre Unicode version

Theorem mnfnre 9063
Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnfnre  |-  -oo  e/  RR

Proof of Theorem mnfnre
StepHypRef Expression
1 2pwuninel 7200 . . . 4  |-  -.  ~P ~P U. CC  e.  CC
2 df-mnf 9058 . . . . . 6  |-  -oo  =  ~P  +oo
3 df-pnf 9057 . . . . . . 7  |-  +oo  =  ~P U. CC
43pweqi 3748 . . . . . 6  |-  ~P  +oo  =  ~P ~P U. CC
52, 4eqtri 2409 . . . . 5  |-  -oo  =  ~P ~P U. CC
65eleq1i 2452 . . . 4  |-  (  -oo  e.  CC  <->  ~P ~P U. CC  e.  CC )
71, 6mtbir 291 . . 3  |-  -.  -oo  e.  CC
8 recn 9015 . . 3  |-  (  -oo  e.  RR  ->  -oo  e.  CC )
97, 8mto 169 . 2  |-  -.  -oo  e.  RR
10 df-nel 2555 . 2  |-  (  -oo  e/  RR  <->  -.  -oo  e.  RR )
119, 10mpbir 201 1  |-  -oo  e/  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1717    e/ wnel 2553   ~Pcpw 3744   U.cuni 3959   CCcc 8923   RRcr 8924    +oocpnf 9052    -oocmnf 9053
This theorem is referenced by:  renemnf  9068  ltxrlt  9081  xrltnr  10654  nltmnf  10660  hashnemnf  11557  mnfnei  17209  deg1nn0clb  19882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-resscn 8982
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058
  Copyright terms: Public domain W3C validator