Theorem mnfnre 5420

Description: Minus infinity is not a real number.

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	|- -oo e/ RR

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomn2lp 4409	. . . 4 |- -. (P~ +oo ~< +oo /\ +oo ~< P~ +oo)
2		elssuni 2494	. . . . . . 7 |- ( -oo e. CC -> -oo (_ U.CC)
3		df-mnf 5411	. . . . . . 7 |- -oo = P~ +oo
4	2, 3	syl5ssr 2077	. . . . . 6 |- ( -oo e. CC -> P~ +oo (_ U.CC)
5		axcnex 5190	. . . . . . . 8 |- CC e. V
6	5	uniex 2834	. . . . . . 7 |- U.CC e. V
7		ssdom2g 4344	. . . . . . 7 |- (U.CC e. V -> (P~ +oo (_ U.CC -> P~ +oo ~<_ U.CC))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (P~ +oo (_ U.CC -> P~ +oo ~<_ U.CC)
9	6	canth2 4418	. . . . . . . 8 |- U.CC ~< P~U.CC
10		df-pnf 5410	. . . . . . . 8 |- +oo = P~U.CC
11	9, 10	breqtrr 2608	. . . . . . 7 |- U.CC ~< +oo
12		domsdomtr 4410	. . . . . . 7 |- ((P~ +oo ~<_ U.CC /\ U.CC ~< +oo) -> P~ +oo ~< +oo)
13	11, 12	mpan2 693	. . . . . 6 |- (P~ +oo ~<_ U.CC -> P~ +oo ~< +oo)
14	4, 8, 13	3syl 20	. . . . 5 |- ( -oo e. CC -> P~ +oo ~< +oo)
15	6	pwex 2713	. . . . . . 7 |- P~U.CC e. V
16	10, 15	eqeltr 1520	. . . . . 6 |- +oo e. V
17	16	canth2 4418	. . . . 5 |- +oo ~< P~ +oo
18	14, 17	jctir 293	. . . 4 |- ( -oo e. CC -> (P~ +oo ~< +oo /\ +oo ~< P~ +oo))
19	1, 18	mto 106	. . 3 |- -. -oo e. CC
20		recnt 5236	. . 3 |- ( -oo e. RR -> -oo e. CC)
21	19, 20	mto 106	. 2 |- -. -oo e. RR
22		df-nel 1564	. 2 |- ( -oo e/ RR <-> -. -oo e. RR)
23	21, 22	mpbir 190	1 |- -oo e/ RR

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 1105   e/ wnel 1562  Vcvv 1786   (_ wss 2018  P~cpw 2372  U.cuni 2471   class class class wbr 2587   ~<_ cdom 4303   ~< csdm 4304  CCcc 5155  RRcr 5156   +oocpnf 5406   -oocmnf 5407

This theorem is referenced by:  ltxrltt 5423  renemnft 5462  xrltnrt 5465  nltmnft 5471

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-enr 5089  df-nr 5090  df-0r 5094  df-c 5163  df-r 5167  df-pnf 5410  df-mnf 5411

Copyright terms: Public domain