MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfnre Unicode version

Theorem mnfnre 8891
Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnfnre  |-  -oo  e/  RR

Proof of Theorem mnfnre
StepHypRef Expression
1 2pwuninel 7032 . . . 4  |-  -.  ~P ~P U. CC  e.  CC
2 df-mnf 8886 . . . . . 6  |-  -oo  =  ~P  +oo
3 df-pnf 8885 . . . . . . 7  |-  +oo  =  ~P U. CC
43pweqi 3642 . . . . . 6  |-  ~P  +oo  =  ~P ~P U. CC
52, 4eqtri 2316 . . . . 5  |-  -oo  =  ~P ~P U. CC
65eleq1i 2359 . . . 4  |-  (  -oo  e.  CC  <->  ~P ~P U. CC  e.  CC )
71, 6mtbir 290 . . 3  |-  -.  -oo  e.  CC
8 recn 8843 . . 3  |-  (  -oo  e.  RR  ->  -oo  e.  CC )
97, 8mto 167 . 2  |-  -.  -oo  e.  RR
10 df-nel 2462 . 2  |-  (  -oo  e/  RR  <->  -.  -oo  e.  RR )
119, 10mpbir 200 1  |-  -oo  e/  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1696    e/ wnel 2460   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   CCcc 8751   RRcr 8752    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881
This theorem is referenced by:  renemnf  8896  ltxrlt  8909  xrltnr  10478  nltmnf  10484  mnfnei  16967  deg1nn0clb  19492
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886
  Copyright terms: Public domain W3C validator