MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfxr Structured version   Unicode version

Theorem mnfxr 10716
Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
mnfxr  |-  -oo  e.  RR*

Proof of Theorem mnfxr
StepHypRef Expression
1 df-mnf 9125 . . . . 5  |-  -oo  =  ~P  +oo
2 pnfxr 10715 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
32elexi 2967 . . . . . 6  |-  +oo  e.  _V
43pwex 4384 . . . . 5  |-  ~P  +oo  e.  _V
51, 4eqeltri 2508 . . . 4  |-  -oo  e.  _V
65prid2 3915 . . 3  |-  -oo  e.  { 
+oo ,  -oo }
7 elun2 3517 . . 3  |-  (  -oo  e.  {  +oo ,  -oo }  ->  -oo  e.  ( RR  u.  {  +oo ,  -oo } ) )
86, 7ax-mp 8 . 2  |-  -oo  e.  ( RR  u.  {  +oo , 
-oo } )
9 df-xr 9126 . 2  |-  RR*  =  ( RR  u.  {  +oo , 
-oo } )
108, 9eleqtrri 2511 1  |-  -oo  e.  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320   ~Pcpw 3801   {cpr 3817   RRcr 8991    +oocpnf 9119    -oocmnf 9120   RR*cxr 9121
This theorem is referenced by:  elxr  10718  xrltnr  10722  mnflt  10724  mnfltpnf  10725  nltmnf  10728  mnfle  10731  xrltnsym  10732  ngtmnft  10757  xrre2  10760  xrre3  10761  ge0gtmnf  10762  xnegex  10796  xnegcl  10801  xltnegi  10804  xaddval  10811  xaddf  10812  xmulval  10813  xaddmnf1  10816  xaddmnf2  10817  pnfaddmnf  10818  mnfaddpnf  10819  xlt2add  10841  xsubge0  10842  xmulneg1  10850  xmulf  10853  xmulmnf2  10858  xmulpnf1n  10859  xadddilem  10875  xadddi2  10878  xrsupsslem  10887  xrinfmsslem  10888  xrub  10892  supxrmnf  10898  xrsup0  10904  supxrre  10908  infmxrre  10916  elioc2  10975  elico2  10976  elicc2  10977  ioomax  10987  iccmax  10988  elioomnf  11001  unirnioo  11006  difreicc  11030  resup  11250  caucvgrlem  12468  xrsdsreclblem  16746  leordtvallem2  17277  leordtval2  17278  lecldbas  17285  pnfnei  17286  mnfnei  17287  icopnfcld  18804  iocmnfcld  18805  blssioo  18828  tgioo  18829  xrtgioo  18839  reconnlem1  18859  reconnlem2  18860  bndth  18985  ovolunnul  19398  ovoliunlem1  19400  ovoliun  19403  ovolicopnf  19422  voliunlem3  19448  volsup  19452  ioombl1lem2  19455  ioombl  19461  volivth  19501  mbfdm  19522  ismbfd  19534  mbfmax  19543  ismbf3d  19548  itg2seq  19636  itg2monolem2  19645  dvferm1lem  19870  dvferm2lem  19872  mdegcl  19994  plypf1  20133  ellogdm  20532  logdmnrp  20534  dvloglem  20541  dvlog2lem  20545  atans2  20773  ressatans  20776  xlemnf  24119  xrinfm  24123  supxrnemnf  24129  xrdifh  24145  xrge00  24210  xrge0neqmnf  24214  xrge0adddir  24217  fsumrp0cl  24219  tpr2rico  24312  xrge0iifcnv  24321  lmlimxrge0  24336  rge0scvg  24337  lmdvg  24340  esumfsupre  24463  esumpfinvallem  24466  esumpfinval  24467  esumpfinvalf  24468  esumpcvgval  24470  esumcvg  24478  dya2iocbrsiga  24627  dya2icobrsiga  24628  orvclteel  24732  itg2gt0cn  26262  dvreasin  26292  areacirclem4  26297  areacirclem5  26298  rfcnpre4  27683  sgnmnf  28587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-pow 4379  ax-un 4703  ax-cnex 9048
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-rex 2713  df-v 2960  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-uni 4018  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126
  Copyright terms: Public domain W3C validator