MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfxr Unicode version

Theorem mnfxr 10456
Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
mnfxr  |-  -oo  e.  RR*

Proof of Theorem mnfxr
StepHypRef Expression
1 df-mnf 8870 . . . . 5  |-  -oo  =  ~P  +oo
2 pnfxr 10455 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
32elexi 2797 . . . . . 6  |-  +oo  e.  _V
43pwex 4193 . . . . 5  |-  ~P  +oo  e.  _V
51, 4eqeltri 2353 . . . 4  |-  -oo  e.  _V
65prid2 3735 . . 3  |-  -oo  e.  { 
+oo ,  -oo }
7 elun2 3343 . . 3  |-  (  -oo  e.  {  +oo ,  -oo }  ->  -oo  e.  ( RR  u.  {  +oo ,  -oo } ) )
86, 7ax-mp 8 . 2  |-  -oo  e.  ( RR  u.  {  +oo , 
-oo } )
9 df-xr 8871 . 2  |-  RR*  =  ( RR  u.  {  +oo , 
-oo } )
108, 9eleqtrri 2356 1  |-  -oo  e.  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150   ~Pcpw 3625   {cpr 3641   RRcr 8736    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866
This theorem is referenced by:  elxr  10458  xrltnr  10462  mnflt  10464  mnfltpnf  10465  nltmnf  10468  mnfle  10470  xrltnsym  10471  ngtmnft  10496  xrre2  10499  xrre3  10500  ge0gtmnf  10501  xnegex  10535  xnegcl  10540  xltnegi  10543  xaddval  10550  xaddf  10551  xmulval  10552  xaddmnf1  10555  xaddmnf2  10556  pnfaddmnf  10557  mnfaddpnf  10558  xlt2add  10580  xsubge0  10581  xmulneg1  10589  xmulf  10592  xmulmnf2  10597  xmulpnf1n  10598  xadddilem  10614  xadddi2  10617  xrsupsslem  10625  xrinfmsslem  10626  xrub  10630  supxrmnf  10636  xrsup0  10642  supxrre  10646  infmxrre  10654  elioc2  10713  elico2  10714  elicc2  10715  ioomax  10724  iccmax  10725  elioomnf  10738  unirnioo  10743  difreicc  10767  resup  10971  caucvgrlem  12145  xrsdsreclblem  16417  leordtvallem2  16941  leordtval2  16942  lecldbas  16949  pnfnei  16950  mnfnei  16951  icopnfcld  18277  iocmnfcld  18278  blssioo  18301  tgioo  18302  xrtgioo  18312  reconnlem1  18331  reconnlem2  18332  bndth  18456  ovolunnul  18859  ovoliunlem1  18861  ovoliun  18864  ovolicopnf  18883  voliunlem3  18909  volsup  18913  ioombl1lem2  18916  ioombl  18922  volivth  18962  mbfdm  18983  ismbfd  18995  mbfmax  19004  ismbf3d  19009  itg2seq  19097  itg2monolem2  19106  dvferm1lem  19331  dvferm2lem  19333  mdegcl  19455  plypf1  19594  ellogdm  19986  logdmnrp  19988  dvloglem  19995  dvlog2lem  19999  atans2  20227  ressatans  20230  xrre3FL  23251  supxrnemnf  23256  xrdifh  23273  tpr2rico  23296  xrge00  23311  xrge0iifcnv  23315  xrge0neqmnf  23330  xrge0adddir  23332  fsumrp0cl  23334  lmlimxrge0  23372  rge0scvg  23373  lmdvg  23376  esumpfinvallem  23442  esumpfinval  23443  esumpfinvalf  23444  esumpcvgval  23446  esumcvg  23454  dya2iocbrsiga  23578  orvclteel  23673  dvreasin  24923  areacirclem5  24929  areacirclem6  24930  oibbi2  25510  rfcnpre4  27705  sgnmnf  28252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-pow 4188  ax-un 4512  ax-cnex 8793
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-rex 2549  df-v 2790  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-uni 3828  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871
  Copyright terms: Public domain W3C validator