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Theorem mnlelt2 25266
Description: The minimal elements of the preset  R. (Contributed by FL, 19-Sep-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
mnlelt2.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
mnlelt2  |-  ( R  e. PresetRel  ->  ( mnl `  R
)  =  { a  e.  X  |  A. b  e.  X  (
b R a  -> 
b  =  a ) } )
Distinct variable groups:    R, a,
b    X, a, b

Proof of Theorem mnlelt2
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . . 3  |-  ( R  e. PresetRel  ->  R  e.  _V )
2 uniexg 4517 . . . 4  |-  ( R  e. PresetRel  ->  U. R  e.  _V )
3 uniexg 4517 . . . 4  |-  ( U. R  e.  _V  ->  U.
U. R  e.  _V )
4 rabexg 4164 . . . 4  |-  ( U. U. R  e.  _V  ->  { a  e.  U. U. R  |  A. b  e.  U. U. R ( b R a  -> 
b  =  a ) }  e.  _V )
52, 3, 43syl 18 . . 3  |-  ( R  e. PresetRel  ->  { a  e. 
U. U. R  |  A. b  e.  U. U. R
( b R a  ->  b  =  a ) }  e.  _V )
6 unieq 3836 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  U. r  =  U. R )
76unieqd 3838 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  U. U. R
)
8 breq 4025 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
b r a  <->  b R
a ) )
98imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( b r a  ->  b  =  a )  <->  ( b R a  ->  b  =  a ) ) )
107, 9raleqbidv 2748 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( A. b  e.  U. U. r ( b r a  ->  b  =  a )  <->  A. b  e.  U. U. R ( b R a  -> 
b  =  a ) ) )
117, 10rabeqbidv 2783 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  { a  e.  U. U. r  |  A. b  e.  U. U. r ( b r a  ->  b  =  a ) }  =  { a  e.  U. U. R  |  A. b  e.  U. U. R ( b R a  -> 
b  =  a ) } )
12 df-mnl 25247 . . . 4  |-  mnl  =  ( r  e.  _V  |->  { a  e.  U. U. r  |  A. b  e.  U. U. r ( b r a  -> 
b  =  a ) } )
1311, 12fvmptg 5600 . . 3  |-  ( ( R  e.  _V  /\  { a  e.  U. U. R  |  A. b  e.  U. U. R ( b R a  -> 
b  =  a ) }  e.  _V )  ->  ( mnl `  R
)  =  { a  e.  U. U. R  |  A. b  e.  U. U. R ( b R a  ->  b  =  a ) } )
141, 5, 13syl2anc 642 . 2  |-  ( R  e. PresetRel  ->  ( mnl `  R
)  =  { a  e.  U. U. R  |  A. b  e.  U. U. R ( b R a  ->  b  =  a ) } )
15 mnlelt2.1 . . . 4  |-  X  =  dom  R
16 preodom2 25226 . . . 4  |-  ( R  e. PresetRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
1715, 16syl5eq 2327 . . 3  |-  ( R  e. PresetRel  ->  X  =  U. U. R )
1817raleqdv 2742 . . 3  |-  ( R  e. PresetRel  ->  ( A. b  e.  X  ( b R a  ->  b  =  a )  <->  A. b  e.  U. U. R ( b R a  -> 
b  =  a ) ) )
1917, 18rabeqbidv 2783 . 2  |-  ( R  e. PresetRel  ->  { a  e.  X  |  A. b  e.  X  ( b R a  ->  b  =  a ) }  =  { a  e. 
U. U. R  |  A. b  e.  U. U. R
( b R a  ->  b  =  a ) } )
2014, 19eqtr4d 2318 1  |-  ( R  e. PresetRel  ->  ( mnl `  R
)  =  { a  e.  X  |  A. b  e.  X  (
b R a  -> 
b  =  a ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ` cfv 5255  PresetRelcpresetrel 25215   mnlcmnl 25217
This theorem is referenced by:  ismnl2  25268  mnlmxl2  25269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-prs 25223  df-mnl 25247
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