MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2xi Unicode version

Theorem mod2xi 13368
Description: Double exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modxai.1  |-  N  e.  NN
modxai.2  |-  A  e.  NN
modxai.3  |-  B  e. 
NN0
modxai.4  |-  D  e.  ZZ
modxai.5  |-  K  e. 
NN0
modxai.6  |-  M  e. 
NN0
mod2xi.9  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
mod2xi.7  |-  ( 2  x.  B )  =  E
mod2xi.8  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  K
)
Assertion
Ref Expression
mod2xi  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)

Proof of Theorem mod2xi
StepHypRef Expression
1 modxai.1 . 2  |-  N  e.  NN
2 modxai.2 . 2  |-  A  e.  NN
3 modxai.3 . 2  |-  B  e. 
NN0
4 modxai.4 . 2  |-  D  e.  ZZ
5 modxai.5 . 2  |-  K  e. 
NN0
6 modxai.6 . 2  |-  M  e. 
NN0
7 mod2xi.9 . 2  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
83nn0cni 10197 . . . 4  |-  B  e.  CC
982timesi 10065 . . 3  |-  ( 2  x.  B )  =  ( B  +  B
)
10 mod2xi.7 . . 3  |-  ( 2  x.  B )  =  E
119, 10eqtr3i 2434 . 2  |-  ( B  +  B )  =  E
12 mod2xi.8 . 2  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  K
)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 3, 5, 7, 7, 11, 12modxai 13367 1  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6048    + caddc 8957    x. cmul 8959   NNcn 9964   2c2 10013   NN0cn0 10185   ZZcz 10246    mod cmo 11213   ^cexp 11345
This theorem is referenced by:  mod2xnegi  13370  1259lem1  13413  1259lem2  13414  1259lem3  13415  1259lem4  13416  2503lem1  13419  2503lem2  13420  4001lem1  13423  4001lem2  13424  4001lem3  13425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346
  Copyright terms: Public domain W3C validator