MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2xi Structured version   Unicode version

Theorem mod2xi 13410
Description: Double exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modxai.1  |-  N  e.  NN
modxai.2  |-  A  e.  NN
modxai.3  |-  B  e. 
NN0
modxai.4  |-  D  e.  ZZ
modxai.5  |-  K  e. 
NN0
modxai.6  |-  M  e. 
NN0
mod2xi.9  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
mod2xi.7  |-  ( 2  x.  B )  =  E
mod2xi.8  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  K
)
Assertion
Ref Expression
mod2xi  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)

Proof of Theorem mod2xi
StepHypRef Expression
1 modxai.1 . 2  |-  N  e.  NN
2 modxai.2 . 2  |-  A  e.  NN
3 modxai.3 . 2  |-  B  e. 
NN0
4 modxai.4 . 2  |-  D  e.  ZZ
5 modxai.5 . 2  |-  K  e. 
NN0
6 modxai.6 . 2  |-  M  e. 
NN0
7 mod2xi.9 . 2  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
83nn0cni 10238 . . . 4  |-  B  e.  CC
982timesi 10106 . . 3  |-  ( 2  x.  B )  =  ( B  +  B
)
10 mod2xi.7 . . 3  |-  ( 2  x.  B )  =  E
119, 10eqtr3i 2460 . 2  |-  ( B  +  B )  =  E
12 mod2xi.8 . 2  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  K
)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 3, 5, 7, 7, 11, 12modxai 13409 1  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726  (class class class)co 6084    + caddc 8998    x. cmul 9000   NNcn 10005   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287    mod cmo 11255   ^cexp 11387
This theorem is referenced by:  mod2xnegi  13412  1259lem1  13455  1259lem2  13456  1259lem3  13457  1259lem4  13458  2503lem1  13461  2503lem2  13462  4001lem1  13465  4001lem2  13466  4001lem3  13467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388
  Copyright terms: Public domain W3C validator