MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2xi Unicode version

Theorem mod2xi 13100
Description: Double exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modxai.1  |-  N  e.  NN
modxai.2  |-  A  e.  NN
modxai.3  |-  B  e. 
NN0
modxai.4  |-  D  e.  ZZ
modxai.5  |-  K  e. 
NN0
modxai.6  |-  M  e. 
NN0
mod2xi.9  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
mod2xi.7  |-  ( 2  x.  B )  =  E
mod2xi.8  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  K
)
Assertion
Ref Expression
mod2xi  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)

Proof of Theorem mod2xi
StepHypRef Expression
1 modxai.1 . 2  |-  N  e.  NN
2 modxai.2 . 2  |-  A  e.  NN
3 modxai.3 . 2  |-  B  e. 
NN0
4 modxai.4 . 2  |-  D  e.  ZZ
5 modxai.5 . 2  |-  K  e. 
NN0
6 modxai.6 . 2  |-  M  e. 
NN0
7 mod2xi.9 . 2  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
83nn0cni 9993 . . . 4  |-  B  e.  CC
982timesi 9861 . . 3  |-  ( 2  x.  B )  =  ( B  +  B
)
10 mod2xi.7 . . 3  |-  ( 2  x.  B )  =  E
119, 10eqtr3i 2318 . 2  |-  ( B  +  B )  =  E
12 mod2xi.8 . 2  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  K
)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 3, 5, 7, 7, 11, 12modxai 13099 1  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874    + caddc 8756    x. cmul 8758   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040    mod cmo 10989   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  mod2xnegi  13102  1259lem1  13145  1259lem2  13146  1259lem3  13147  1259lem4  13148  2503lem1  13151  2503lem2  13152  4001lem1  13155  4001lem2  13156  4001lem3  13157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator