MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modcyc2 Structured version   Unicode version

Theorem modcyc2 11279
Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modcyc2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  ( B  x.  N )
)  mod  B )  =  ( A  mod  B ) )

Proof of Theorem modcyc2
StepHypRef Expression
1 recn 9082 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 rpcn 10622 . . . 4  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  CC )
3 zcn 10289 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
4 mulneg1 9472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( N  x.  B
) )
54ancoms 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( N  x.  B
) )
6 mulcom 9078 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( B  x.  N
)  =  ( N  x.  B ) )
76negeqd 9302 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  -> 
-u ( B  x.  N )  =  -u ( N  x.  B
) )
85, 7eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( B  x.  N
) )
983adant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( B  x.  N ) )
109oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( A  +  ( -u N  x.  B ) )  =  ( A  +  -u ( B  x.  N
) ) )
11 mulcl 9076 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( B  x.  N
)  e.  CC )
12 negsub 9351 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  x.  N
)  e.  CC )  ->  ( A  +  -u ( B  x.  N
) )  =  ( A  -  ( B  x.  N ) ) )
1311, 12sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( A  +  -u ( B  x.  N ) )  =  ( A  -  ( B  x.  N )
) )
14133impb 1150 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( A  +  -u ( B  x.  N ) )  =  ( A  -  ( B  x.  N
) ) )
1510, 14eqtr2d 2471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  x.  N ) )  =  ( A  +  (
-u N  x.  B
) ) )
161, 2, 3, 15syl3an 1227 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  -  ( B  x.  N ) )  =  ( A  +  (
-u N  x.  B
) ) )
1716oveq1d 6098 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  ( B  x.  N )
)  mod  B )  =  ( ( A  +  ( -u N  x.  B ) )  mod 
B ) )
18 znegcl 10315 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
19 modcyc 11278 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  (
-u N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )
2018, 19syl3an3 1220 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  (
-u N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )
2117, 20eqtrd 2470 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  ( B  x.  N )
)  mod  B )  =  ( A  mod  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991    + caddc 8995    x. cmul 8997    - cmin 9293   -ucneg 9294   ZZcz 10284   RR+crp 10614    mod cmo 11252
This theorem is referenced by:  modadd1  11280  modmul1  11281  modsubdir  11287  2submod  28163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fl 11204  df-mod 11253
  Copyright terms: Public domain W3C validator