MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modge0 Structured version   Unicode version

Theorem modge0 11259
Description: The modulo operation is nonnegative. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modge0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( A  mod  B ) )

Proof of Theorem modge0
StepHypRef Expression
1 rerpdivcl 10641 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
2 flle 11210 . . . . 5  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  <_ 
( A  /  B
) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  <_  ( A  /  B ) )
4 reflcl 11207 . . . . . 6  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  RR )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  RR )
6 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
7 rpregt0 10627 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
87adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
9 lemuldiv2 9892 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A  <->  ( |_ `  ( A  /  B
) )  <_  ( A  /  B ) ) )
105, 6, 8, 9syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A  <->  ( |_ `  ( A  /  B
) )  <_  ( A  /  B ) ) )
113, 10mpbird 225 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A )
12 rpre 10620 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
1312adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
1413, 5remulcld 9118 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  RR )
15 subge0 9543 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) )  <->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A )
)
1614, 15syldan 458 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 0  <_  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) )  <->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A )
)
1711, 16mpbird 225 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
18 modval 11254 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
1917, 18breqtrrd 4240 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( A  mod  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   RR+crp 10614   |_cfl 11203    mod cmo 11252
This theorem is referenced by:  zmodcl  11268  modid2  11273  modabs  11276  modsubdir  11287  digit1  11515  bitsinv1lem  12955  4sqlem6  13313  sineq0  20431  efif1olem2  20447  modelico  26886  irrapxlem1  26887  pellfund14  26963  jm2.19  27066  sineq0ALT  29111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fl 11204  df-mod 11253
  Copyright terms: Public domain W3C validator