MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmul12d Unicode version

Theorem modmul12d 11095
Description: Multiplication property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modmul12d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
modmul12d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
modmul12d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
modmul12d.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
modmul12d.5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
modmul12d.6  |-  ( ph  ->  ( A  mod  E
)  =  ( B  mod  E ) )
modmul12d.7  |-  ( ph  ->  ( C  mod  E
)  =  ( D  mod  E ) )
Assertion
Ref Expression
modmul12d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  D )  mod  E ) )

Proof of Theorem modmul12d
StepHypRef Expression
1 modmul12d.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
21zred 10209 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 modmul12d.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
43zred 10209 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 modmul12d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
6 modmul12d.5 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
7 modmul12d.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  mod  E
)  =  ( B  mod  E ) )
8 modmul1 11094 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( A  mod  E )  =  ( B  mod  E
) )  ->  (
( A  x.  C
)  mod  E )  =  ( ( B  x.  C )  mod 
E ) )
92, 4, 5, 6, 7, 8syl221anc 1193 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  C )  mod  E ) )
103zcnd 10210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
115zcnd 10210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1210, 11mulcomd 8946 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
1312oveq1d 5960 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( C  x.  B )  mod  E ) )
145zred 10209 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
15 modmul12d.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
1615zred 10209 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
17 modmul12d.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  mod  E
)  =  ( D  mod  E ) )
18 modmul1 11094 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( C  mod  E )  =  ( D  mod  E
) )  ->  (
( C  x.  B
)  mod  E )  =  ( ( D  x.  B )  mod 
E ) )
1914, 16, 3, 6, 17, 18syl221anc 1193 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  mod  E
)  =  ( ( D  x.  B )  mod  E ) )
2015zcnd 10210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2120, 10mulcomd 8946 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  x.  B
)  =  ( B  x.  D ) )
2221oveq1d 5960 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  B )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  D )  mod  E ) )
2313, 19, 223eqtrd 2394 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  D )  mod  E ) )
249, 23eqtrd 2390 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  D )  mod  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710  (class class class)co 5945   RRcr 8826    x. cmul 8832   ZZcz 10116   RR+crp 10446    mod cmo 11065
This theorem is referenced by:  modexp  11329  smumul  12781  modxai  13180  elqaalem2  19804  lgsdir2lem5  20678  lgseisenlem2  20701  lgseisenlem3  20702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-fl 11017  df-mod 11066
  Copyright terms: Public domain W3C validator