MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmul12d Unicode version

Theorem modmul12d 11235
Description: Multiplication property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modmul12d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
modmul12d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
modmul12d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
modmul12d.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
modmul12d.5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
modmul12d.6  |-  ( ph  ->  ( A  mod  E
)  =  ( B  mod  E ) )
modmul12d.7  |-  ( ph  ->  ( C  mod  E
)  =  ( D  mod  E ) )
Assertion
Ref Expression
modmul12d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  D )  mod  E ) )

Proof of Theorem modmul12d
StepHypRef Expression
1 modmul12d.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
21zred 10331 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 modmul12d.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
43zred 10331 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 modmul12d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
6 modmul12d.5 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
7 modmul12d.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  mod  E
)  =  ( B  mod  E ) )
8 modmul1 11234 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( A  mod  E )  =  ( B  mod  E
) )  ->  (
( A  x.  C
)  mod  E )  =  ( ( B  x.  C )  mod 
E ) )
92, 4, 5, 6, 7, 8syl221anc 1195 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  C )  mod  E ) )
103zcnd 10332 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
115zcnd 10332 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1210, 11mulcomd 9065 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
1312oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( C  x.  B )  mod  E ) )
145zred 10331 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
15 modmul12d.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
1615zred 10331 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
17 modmul12d.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  mod  E
)  =  ( D  mod  E ) )
18 modmul1 11234 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( C  mod  E )  =  ( D  mod  E
) )  ->  (
( C  x.  B
)  mod  E )  =  ( ( D  x.  B )  mod 
E ) )
1914, 16, 3, 6, 17, 18syl221anc 1195 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  mod  E
)  =  ( ( D  x.  B )  mod  E ) )
2015zcnd 10332 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2120, 10mulcomd 9065 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  x.  B
)  =  ( B  x.  D ) )
2221oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  B )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  D )  mod  E ) )
2313, 19, 223eqtrd 2440 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  D )  mod  E ) )
249, 23eqtrd 2436 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  D )  mod  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   RRcr 8945    x. cmul 8951   ZZcz 10238   RR+crp 10568    mod cmo 11205
This theorem is referenced by:  modexp  11469  smumul  12960  modxai  13359  elqaalem2  20190  lgsdir2lem5  21064  lgseisenlem2  21087  lgseisenlem3  21088
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-mod 11206
  Copyright terms: Public domain W3C validator