MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmul12d Structured version   Unicode version

Theorem modmul12d 11285
Description: Multiplication property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modmul12d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
modmul12d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
modmul12d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
modmul12d.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
modmul12d.5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
modmul12d.6  |-  ( ph  ->  ( A  mod  E
)  =  ( B  mod  E ) )
modmul12d.7  |-  ( ph  ->  ( C  mod  E
)  =  ( D  mod  E ) )
Assertion
Ref Expression
modmul12d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  D )  mod  E ) )

Proof of Theorem modmul12d
StepHypRef Expression
1 modmul12d.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
21zred 10380 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 modmul12d.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
43zred 10380 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 modmul12d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
6 modmul12d.5 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
7 modmul12d.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  mod  E
)  =  ( B  mod  E ) )
8 modmul1 11284 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( A  mod  E )  =  ( B  mod  E
) )  ->  (
( A  x.  C
)  mod  E )  =  ( ( B  x.  C )  mod 
E ) )
92, 4, 5, 6, 7, 8syl221anc 1196 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  C )  mod  E ) )
103zcnd 10381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
115zcnd 10381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1210, 11mulcomd 9114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
1312oveq1d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( C  x.  B )  mod  E ) )
145zred 10380 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
15 modmul12d.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
1615zred 10380 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
17 modmul12d.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  mod  E
)  =  ( D  mod  E ) )
18 modmul1 11284 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( C  mod  E )  =  ( D  mod  E
) )  ->  (
( C  x.  B
)  mod  E )  =  ( ( D  x.  B )  mod 
E ) )
1914, 16, 3, 6, 17, 18syl221anc 1196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  mod  E
)  =  ( ( D  x.  B )  mod  E ) )
2015zcnd 10381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2120, 10mulcomd 9114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  x.  B
)  =  ( B  x.  D ) )
2221oveq1d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  B )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  D )  mod  E ) )
2313, 19, 223eqtrd 2474 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  D )  mod  E ) )
249, 23eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  mod  E
)  =  ( ( B  x.  D )  mod  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726  (class class class)co 6084   RRcr 8994    x. cmul 9000   ZZcz 10287   RR+crp 10617    mod cmo 11255
This theorem is referenced by:  modexp  11519  smumul  13010  modxai  13409  elqaalem2  20242  lgsdir2lem5  21116  lgseisenlem2  21139  lgseisenlem3  21140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fl 11207  df-mod 11256
  Copyright terms: Public domain W3C validator