MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modnegd Unicode version

Theorem modnegd 11209
Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
modnegd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
modnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
modnegd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
modnegd.4  |-  ( ph  ->  ( A  mod  C
)  =  ( B  mod  C ) )
Assertion
Ref Expression
modnegd  |-  ( ph  ->  ( -u A  mod  C )  =  ( -u B  mod  C ) )

Proof of Theorem modnegd
StepHypRef Expression
1 modnegd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 modnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 1z 10244 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
54znegcld 10310 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  ZZ )
6 modnegd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
7 modnegd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  mod  C
)  =  ( B  mod  C ) )
8 modmul1 11207 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u 1  e.  ZZ  /\  C  e.  RR+ )  /\  ( A  mod  C )  =  ( B  mod  C
) )  ->  (
( A  x.  -u 1
)  mod  C )  =  ( ( B  x.  -u 1 )  mod 
C ) )
91, 2, 5, 6, 7, 8syl221anc 1195 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u 1 )  mod  C
)  =  ( ( B  x.  -u 1
)  mod  C )
)
101recnd 9048 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
11 ax-1cn 8982 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
1312negcld 9331 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
1410, 13mulcomd 9043 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  A ) )
1510mulm1d 9418 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  A )  =  -u A )
1614, 15eqtrd 2420 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  x.  -u 1
)  =  -u A
)
1716oveq1d 6036 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u 1 )  mod  C
)  =  ( -u A  mod  C ) )
182recnd 9048 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
1918, 13mulcomd 9043 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  B ) )
2018mulm1d 9418 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  B )  =  -u B )
2119, 20eqtrd 2420 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  x.  -u 1
)  =  -u B
)
2221oveq1d 6036 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  -u 1 )  mod  C
)  =  ( -u B  mod  C ) )
239, 17, 223eqtr3d 2428 1  |-  ( ph  ->  ( -u A  mod  C )  =  ( -u B  mod  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   1c1 8925    x. cmul 8929   -ucneg 9225   ZZcz 10215   RR+crp 10545    mod cmo 11178
This theorem is referenced by:  modsub12d  11211
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-fl 11130  df-mod 11179
  Copyright terms: Public domain W3C validator